問題
連立不等式，の表す領域を図示せよ．また，曲線がの点を通るような実数の最大値と最小値を求めよ．
方針
領域 は中心 ，半径2の円板を直線 の下側で切った図形である。曲線は なので，中心 の半径1の円が と交わる条件に置き換える。 の最小側では円板との外接が効き，最大側では直線 への接触が効く。接点が実際に の境界部分にあることも確認する。
解答
まず は である。したがって は中心 ，半径2の円板のうち，直線 の下側 にある部分である。直線 はこの円と で交わるので，図示では円板からこの直線の上側の弓形部分を取り除いた領域になる。
次に，曲線 は である。すなわち，中心を とする半径1の円である。この円が の点を通ることは，点 から までの距離が1以下であることと同値である。
最小値を考える。左側へ動かすと，制限になるのは円板 との接触である。半径2の円板と半径1の円がちょうど外接するとき，2つの中心の距離は3である。よって となる。最小側なので として より である。このときの接点は，中心 から へ向かう線分上にあり，具体的には である。この点は を満たすので，直線による切り取りの外には出ていない。したがって最小値は である。
最大値を考える。円板だけを見れば中心間距離が3以下という条件で足りるが，右上側は直線 によって切られている。したがって最大側では半径1の円が直線 に接するときが限界である。中心 からこの直線までの距離は であり，最大側では だから となる。よって である。このときの接点は で，これは直線 上の線分 から の間にある。したがって の境界上の点であり，条件を満たす。
以上より，求める の最小値と最大値は である。
別解。 の点 を固定すると，半径1の円の中心 がこの点から距離1以下にある条件は である。したがって の範囲で となる。左端は円 の左側境界で最小となり，右端は直線 上で最大となる。前者は2つの円の外接条件から ，後者は直線への接線条件から となり，同じ結論を得る。