東北大学 2006年度
理系数学 前期 第4問

解答

(1)

$f(x)=x\sin \frac{\pi }{x}$ を微分すると

である。したがって $f^{\prime }(2)=\sin \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2}=1$ である。

また，$x>2$ のとき $0<\frac{\pi }{x}<\frac{\pi }{2}$ なので $\cos \frac{\pi }{x}>0$ である。よって

となり，$x>2$ で $f^{\prime }(x)<1$ が示された。

(2)

自然数 $k$ に対して $x=1/k$ を代入すると

である。

(3)

$u=\frac{\pi }{x}$ とおく。$x>0$ で $u>0$ であり，$x$ が大きい順に並ぶことは $u$ が小さい順に並ぶことに対応する。方程式 $f^{\prime }(x)=1$ は $\sin u-u\cos u=1$ である。 $g(u)=\sin u-u\cos u$ とおくと $g^{\prime }(u)=\cos u-(\cos u-u\sin u)=u\sin u$ である。区間 $((n-1)\pi ,n\pi )$ では $\sin u$ の符号が一定なので，$g$ は単調である。

端点の値は $g(k\pi )=\sin k\pi -k\pi \cos k\pi =(-1{)}^{k+1}k\pi$ である。$n$ が偶数のとき $g((n-1)\pi )=(n-1)\pi >1,g(n\pi )=-n\pi <1$ であり，この区間で $g$ は減少する。$n$ が奇数のとき $g((n-1)\pi )=-(n-1)\pi <1,g(n\pi )=n\pi >1$ であり，この区間で $g$ は増加する。したがって，いずれの場合も区間 $((n-1)\pi ,n\pi )$ に $g(u)=1$ の解がただ1つ存在する。

これを小さい方から $u_1,u_2,u_3,\dots$ とすると，対応する $x_n$ は $x_n=\frac{\pi }{u_n}$ であり，$u_n\in ((n-1)\pi ,n\pi )$ だから $\frac{1}{n}<x_n<\frac{1}{n-1}$ である。これは $n\geqq 2$ で成り立つ。

(4)

(3)より $0<x_n<\frac{1}{n-1}$ であるから $x_n\to 0$ である。また $|f(x_n)|=\left|x_n\sin \frac{\pi }{x_n}\right|\leqq x_n$ である。右辺が0に近づくので，はさみうちにより $\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=0}$ である。