東北大学 2004年度後期・文系数学後期第4問解答・解説

問題

$- 180^{\circ} < θ < 180^{\circ}$ とする．複素数 $z = cos θ + i sin θ$ に対し， $w = \frac{1}{( 1 + z ) ^{2}}$ とおき， $w$ の実部と虚部をそれぞれ $x$ ， $y$ とする．

(1) $x$ を $cos θ$ で表せ．

(2) $x^{2} + y^{2}$ を $cos θ$ で表せ．

(3) $x$ を $y$ で表せ．

出典：東北大学 2004年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第4問

方針

指定範囲では $θ = \pm 18 0^{\circ}$ が除かれているので $1 + z \neq = 0$ である。 $1 + z$ を半角で $2 cos (θ /2) (cos (θ /2) + i sin (θ /2))$ と表すと、 $(1 + z)^{2}$ の偏角と大きさが同時に分かる。(1)(2)は $w$ の実部と絶対値を読み取り、(3)は $y$ の式を作って $cos θ$ を消去する。分母 $1 + cos θ$ が正であることも確認する。

解答

(1)

$- 18 0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ なので $cos (θ /2) > 0$ であり、 $1 + z \neq = 0$ である。また

1 + z = 1 + cos θ + i sin θ = 2 cos \frac{θ}{2} (cos \frac{θ}{2} + i sin \frac{θ}{2})

である。したがって

(1 + z)^{2} = 4 cos^{2} \frac{θ}{2} (cos θ + i sin θ) = 2 (1 + cos θ) (cos θ + i sin θ)

となる。よって $w = \frac{1}{( 1 + z ) ^{2}} = \frac{c o s θ - i s i n θ}{2 ( 1 + c o s θ )}$ であるから、実部は $x = \frac{c o s θ}{2 ( 1 + c o s θ )}$ である。

(2)

上の式より $∣ w ∣ = \frac{∣ c o s θ - i s i n θ ∣}{2 ( 1 + c o s θ )}$ である。ここで $∣ cos θ - i sin θ ∣ = 1$ であり、指定範囲では $1 + cos θ > 0$ だから $x^{2} + y^{2} = ∣ w ∣ = \frac{1}{2 ( 1 + c o s θ )}$ である。

(3)

(1)で得た式から虚部は $y = - \frac{s i n θ}{2 ( 1 + c o s θ )}$ である。したがって

y^{2} = \frac{sin ^{2} θ}{4 ( 1 + cos θ ) ^{2}} = \frac{1 - cos ^{2} θ}{4 ( 1 + cos θ ) ^{2}} = \frac{1 - cos θ}{4 ( 1 + cos θ )}

となる。一方、

\frac{1}{4} - y^{2} = \frac{1 + cos θ}{4 ( 1 + cos θ )} - \frac{1 - cos θ}{4 ( 1 + cos θ )} = \frac{cos θ}{2 ( 1 + cos θ )}

である。これは(1)の $x$ に等しいから、 $x = \frac{1}{4} - y^{2}$ である。

別解。 $z \overline{z} = 1$ を用いて $w = \frac{( 1 + z ) ^{2}}{∣1 + z ∣ ^{4}}$ とおいてもよい。分母は $∣1 + z ∣^{2} = 2 (1 + cos θ)$ より $4 (1 + cos θ)^{2}$ であり、分子の実部は

Re (1 + 2 \overline{z} + \overline{z}^{2}) = 1 + 2 cos θ + cos 2 θ = 2 cos θ (1 + cos θ)

である。したがって同じく $x = \frac{c o s θ}{2 ( 1 + c o s θ )}$ が得られる。

東北大学 2004年度後期・文系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2004年度
後期・文系数学後期第4問