東北大学 2004年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

次の式で表される放物線を $C (θ)$ とする．

y = x^{2} - \frac{2}{cos θ} x + \frac{2 + sin 2 θ}{1 + cos 2 θ}

$C (θ)$ の頂点を $P (θ)$ とし， $C (θ)$ と $y$ 軸との交点を $R (θ)$ とする． $θ$ が $- 90^{\circ} < θ < 90^{\circ}$ の範囲を動くとき，次の問いに答えよ．

(1) 頂点 $P (θ)$ の軌跡の方程式を求めよ．

(2) $P (θ)$ と $R (θ)$ との距離の最小値を求めよ．

出典：東北大学 2004年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

方針

放物線の頂点を平方完成で求める。定数項の分母は $1 + cos 2 θ = 2 cos^{2} θ$ であり、指定範囲では $cos θ > 0$ なので式変形してよい。頂点は $(sec θ, tan θ)$ となるため、軌跡は $x^{2} - y^{2} = 1$ の右枝である。距離は $R$ の座標を出して $sec^{2} θ$ の式に直し、最小値と等号成立を確認する。

解答

(1)

与えられた範囲では $cos θ > 0$ であり、また $1 + cos 2 θ = 2 cos^{2} θ$ である。放物線を $y = x^{2} - \frac{2}{c o s θ} x + \frac{2 + s i n 2 θ}{1 + c o s 2 θ}$ と見ると、頂点の $x$ 座標は $x = \frac{1}{c o s θ}$ である。頂点の $y$ 座標は、平方完成により

\frac{2 + sin 2 θ}{1 + cos 2 θ} - \frac{1}{cos ^{2} θ} = \frac{2 + 2 sin θ cos θ}{2 cos ^{2} θ} - \frac{1}{cos ^{2} θ} = \frac{sin θ}{cos θ} = tan θ

である。したがって $P (θ) = (sec θ, tan θ)$ である。

ここで $x = sec θ$ , $y = tan θ$ とおくと $x^{2} - y^{2} = sec^{2} θ - tan^{2} θ = 1$ である。また $- 9 0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$ では $cos θ > 0$ だから $x = sec θ > 0$ である。逆に、 $x^{2} - y^{2} = 1$ , $x > 0$ を満たす点は $x ≧ 1$ で、 $y$ に対して $tan θ = y$ となる $θ$ がこの範囲にただ1つ存在し、そのとき $x = 1 + y^{2} = sec θ$ となる。よって軌跡は $x^{2} - y^{2} = 1, x > 0$ である。

(2)

$R (θ)$ は $y$ 軸との交点なので、 $x = 0$ を代入して

R (θ) = (0, \frac{2 + sin 2 θ}{1 + cos 2 θ}) = (0, sec^{2} θ + tan θ)

である。したがって $P (θ) = (sec θ, tan θ)$ との差を取ると、横方向の差は $sec θ$ 、縦方向の差は $sec^{2} θ$ である。よって $P R^{2} = sec^{2} θ + sec^{4} θ$ である。 $u = sec^{2} θ$ とおくと、 $cos θ > 0$ より $u ≧ 1$ であり、 $P R^{2} = u + u^{2}$ である。 $u ≧ 1$ で $u + u^{2}$ は増加するので、最小は $u = 1$ 、すなわち $θ = 0$ のときである。このとき $P R_{m i n}^{2} = 2$ であるから、求める最小値は $2$ である。

東北大学 2004年度後期・文系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2004年度
後期・文系数学後期第2問