東北大学 2004年度後期・文系数学後期第3問解答・解説

問題

平面上のベクトル $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ があり，以下の関係を満たすとする．

a \cdot a = 1, b \cdot b = 1, a \cdot b = k (- 1 < k < 1)

b \cdot c = 0, c \cdot c = 1, a \cdot c > 0

a \cdot d = 0, d \cdot d = 1, b \cdot d > 0

(1) $f = p a + q b$ と表されるベクトル $f$ を考える．係数 $p$ および $q$ をベクトル $f$ ， $a$ ， $b$ の内積と $k$ を用いてそれぞれ表せ．

(2) ベクトル $c$ および $d$ を $a$ ， $b$ ， $k$ を用いてそれぞれ表せ．

(3) ベクトル $g$ が $g = r c + s d$ と表されるとき，(1)で与えられたベクトル $f$ との内積 $f \cdot g$ を $k$ ， $p$ ， $q$ ， $r$ ， $s$ を用いて表せ．

出典：東北大学 2004年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第3問

方針

$a$ と $b$ は単位ベクトルで $- 1 < k < 1$ だから平行ではなく、平面上の基準として使える。(1)は $f = p a + q b$ の両辺に $a$ , $b$ を内積して2元連立方程式を解く。(2)は $a - k b$ , $b - k a$ がそれぞれ必要な直交条件を満たすことに注目し、長さと向きの条件で符号を決める。(3)は(2)の表示を使って $f \cdot c$ , $f \cdot d$ を先に求める。

解答

(1)

$- 1 < k < 1$ より $1 - k^{2} > 0$ である。 $f = p a + q b$ の両辺に $a$ , $b$ をそれぞれ内積すると

f \cdot a = p (a \cdot a) + q (b \cdot a) = p + k q

および

f \cdot b = p (a \cdot b) + q (b \cdot b) = k p + q

を得る。これを $p, q$ について解くと

p = \frac{f \cdot a - k f \cdot b}{1 - k ^{2}}, q = \frac{f \cdot b - k f \cdot a}{1 - k ^{2}}

である。

(2)

まず $(a - k b) \cdot b = k - k = 0$ であり、

(a - k b) \cdot (a - k b) = 1 - 2 k^{2} + k^{2} = 1 - k^{2}

である。また $a \cdot (a - k b) = 1 - k^{2} > 0$ だから、向きの条件 $a \cdot c > 0$ を満たす単位ベクトルは

c = \frac{a - k b}{1 - k ^{2}}

である。

同様に、

(b - k a) \cdot a = 0, (b - k a)^{2} = 1 - k^{2}

であり、さらに $b \cdot (b - k a) = 1 - k^{2} > 0$ である。よって

d = \frac{b - k a}{1 - k ^{2}}

である。

(3)

(2)の式を用いると

f \cdot c = (p a + q b) \cdot \frac{a - k b}{1 - k ^{2}} = \frac{p ( 1 - k ^{2} ) + q ( k - k )}{1 - k ^{2}} = p 1 - k^{2}

である。同様に

f \cdot d = (p a + q b) \cdot \frac{b - k a}{1 - k ^{2}} = q 1 - k^{2}

である。 $g = r c + s d$ だから、

f \cdot g = r (f \cdot c) + s (f \cdot d) = 1 - k^{2} (p r + q s)

である。

別解。座標を取り、 $a = (1, 0)$ , $b = (k, 1 - k^{2})$ としてもよい。このとき $b$ に垂直で $a$ との内積が正の単位ベクトルは

(1 - k^{2}, - k) = \frac{a - k b}{1 - k ^{2}}

であり、 $a$ に垂直で $b$ との内積が正の単位ベクトルは $(0, 1) = \frac{b - k a}{1 - k ^{2}}$ である。また $f = p a + q b = (p + k q, q 1 - k^{2})$ と書けるので、

f \cdot (r c + s d) = 1 - k^{2} (p r + q s)

が同じく得られる。

東北大学 2004年度後期・文系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2004年度
後期・文系数学後期第3問