問題
ある人がバス停で発行きのバスに乗り，バス停で発行きのバスに乗りかえてバス停へ向かうものとする．バスの発車時刻，バス停での待ち時間，バスの乗車時間は次の5つの条件を満たすものとする．
1. 発行きおよび発行きのバスは同時刻に3分おきで発車している．
2. バス停での待ち時間は0分または1分または2分で，それぞれの起こる確率はである．
3. バス停に到着後，最初に発車する行きのバスに乗りかえる．
4. 発行きのバスの乗車時間は8分または10分で，それぞれの起こる確率はである．
5. 発行きのバスの乗車時間は6分または7分で，それぞれの起こる確率はである．
ただし，条件2，4，5において，待ち時間，乗車時間の起こり方は独立であるとする．
この人がバス停に到着後バス停へ到着するまでにかかる時間が分である確率を求めよ．
方針
総時間を、 での待ち時間、 の乗車時間、 での待ち時間、 の乗車時間の和として整理する。両路線は同時刻に3分おきに出るので、 が8分なら到着は発車時刻から2分後で次の待ち時間は1分、10分なら1分後で待ち時間は2分になる。あとは独立な3つの選択を表にして、同じ総時間になる場合の確率を足し合わせる。
解答
での待ち時間を とする。条件より がそれぞれ確率 で起こる。 発 行きと 発 行きは同時刻に3分おきに発車する。したがって、 から までの乗車時間が8分のとき、 到着は発車時刻から8分後であり、これは3分周期で見ると2分後である。よって次の 行きまでの待ち時間は1分である。
同様に、 から までの乗車時間が10分のとき、3分周期で見ると1分後に到着するので、 での待ち時間は2分である。
したがって、 の乗車時間と の乗車時間に応じて、 を除いた時間は次のようになる。
これら4通りはそれぞれ確率 で起こる。また は独立に確率 で起こるので、表の各行と各 の組は確率 である。
したがって総時間は である。これを数えると
である。それ以外の整数 については である。