東北大学 2003年度
文系数学 前期 第3問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- ベクトル、整数
- 解法
- 内積の利用、ベクトル成分計算、背理法
- 難易度
- 6 / 10 計算量 5 / 10 目安 20〜25分
問題
三角形ABCにおいて，
AB=1,AC=2,∠A=60∘
とする．正の数m，nに対し，辺BC，CA，ABをm:nの比に内分する点を順にD，E，Fとする．
(1) DEとEFが垂直であるときの比m:nを求めよ．
(2) どのような正の整数m，nに対しても，ADとEFは垂直でないことを示せ．
出典：東北大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
A を原点に置き、AB=b, AC=c とおく。条件から ∣b∣=1, ∣c∣=2, b⋅c=1 が使える。内分点 D,E,F を m,n で表し、(1)は DE⋅EF=0 を計算する。(2)は AD⋅EF=0 と仮定すると m/n が無理数になることを示し、正の整数比とは両立しないと結論する。
解答
(1)
A を原点とし、AB=b,AC=c とおく。条件より
∣b∣=1,∣c∣=2,b⋅c=∣b∣∣c∣cos60∘=1
である。 M=m+n とおく。点 D は辺 BC を m:n に内分するので AD=Mnb+mc である。同様に、点 E は辺 CA を m:n に、点 F は辺 AB を m:n に内分するから
である。
したがって
DE=M−nb+(n−m)c,EF=Mmb−nc
である。内積を計算すると
M2DE⋅EF=(−nb+(n−m)c)⋅(mb−nc)=−mn∣b∣2+n2b⋅c+m(n−m)c⋅b−n(n−m)∣c∣2=−mn+n2+m(n−m)−4n(n−m)=−m2+4mn−3n2=−(m−n)(m−3n).
よって DE⊥EF となる条件は (m−n)(m−3n)=0 である。m,n は正なので、求める比は m:n=1:1,m:n=3:1 である。
(2)
同じ表示を用いると
である。したがって
M2AD⋅EF=(nb+mc)⋅(mb−nc)=mn∣b∣2−n2b⋅c+m2c⋅b−mn∣c∣2=mn−n2+m2−4mn=m2−3mn−n2.
もし AD と EF が垂直なら m2−3mn−n2=0 である。n>0 なので r=m/n とおくと r2−3r−1=0 である。よって r=23±13 である。正の比なので nm=23+13 でなければならない。
しかし m,n が正の整数なら m/n は有理数である。一方、(3+13)/2 は無理数である。したがって、どのような正の整数 m,n に対しても AD と EF は垂直でない。
