問題
実数に対して，集合，を
と定める．共通部分が空集合でないためのの範囲を求めよ．
出典：東北大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
2つの2次不等式をまず因数分解し、集合 と を区間として読み替える。 は なので閉区間、 は なので開区間になる。端点の大小を確認したうえで、閉区間 と開区間 が交わるための必要十分条件を立てる。開区間側の端点は含まれないので、端点が一致する場合を除くため不等号は厳密になる。
解答
まず2つの2次式を因数分解する。 である。また である。
集合 について、2つの根は である。ここで だから、常に である。したがって である。
集合 について、2つの根は であり、 である。 の不等式なので である。
したがって が空でないためには、閉区間 と開区間 が交わればよい。そのための条件は かつ である。最初の不等式は であり、2つ目は である。
よって かつ であるから、求める範囲は である。端点 では の端点が の開端点と一致するだけなので、共通部分は生じない。