東北大学 2002年度
後期・文系数学 後期 第4問

解答

$C_1$ と $C$ の共有点を $P_1=(x_1,y_1)$ とし、$C_2$ と $C$ の共有点を $P_2=(x_2,y_2)$ とする。それぞれ共有点が1点だけなので、放物線はその点で接している。

まず微分係数を比較する。$C_1:y=x^2$ の接点 $x=x_1$ における傾きは $2x_1$ である。一方、$C:y=p(x-q{)}^2+r$ の同じ点での傾きは $2p(x_1-q)$ である。したがって $x_1=p(x_1-q)$ である。

同様に、$C_2:y=(x-a{)}^2+b$ の接点 $x=x_2$ における傾きは $2(x_2-a)$ なので $x_2-a=p(x_2-q)$ である。2式を引くと $x_1-x_2+a=p(x_1-x_2)$ を得る。もし $x_1=x_2$ なら $a=0$ となり、条件 $a\ne 0$ に反する。よって $\boxed{x_1\ne x_2}$ である。

次に接点のy座標の一致を用いる。上で得た接線条件から $x_1-q=\frac{x_1}{p},x_2-q=\frac{x_2-a}{p}$ である。したがって $r=x_1^2\left(1-\frac{1}{p}\right)$ であり、同様に $r=(x_2-a{)}^2\left(1-\frac{1}{p}\right)+b$ である。よって $\left(1-\frac{1}{p}\right)\{x_1^2-(x_2-a{)}^2\}=b$ である。

また $p=\frac{x_1-x_2+a}{x_1-x_2}$ なので $1-\frac{1}{p}=\frac{a}{x_1-x_2+a}$ である。これを代入すると $\frac{a}{x_1-x_2+a}\{x_1^2-(x_2-a{)}^2\}=b$ である。ここで $x_1^2-(x_2-a{)}^2=(x_1-x_2+a)(x_1+x_2-a)$ だから $a(x_1+x_2-a)=b$ であり、$a\ne 0$ より $x_1+x_2=a+\frac{b}{a}$ である。

線分 $P_1{P}_2$ の傾きは $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{(x_2-a{)}^2+b-x_1^2}{x_2-x_1}$ である。分子を整理すると $(x_2-a{)}^2+b-x_1^2=(x_2-x_1)(x_1+x_2-a)$ であるから、傾きは $x_1+x_2-a=\boxed{\frac{b}{a}}$ である。