問題
とする．平面上の点，，，を頂点とする長方形のうち，放物線の下にある部分の面積を，上にある部分の面積をとする．
(1) を求めよ．
(2) がを動くときのの最大値，最小値，およびそれらの値をとるときのの値を求めよ．
出典：東北大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第2問
方針
固定した に対して、長方形内で放物線 の下にある縦の長さを求めて積分する。 では の部分で長方形全体が放物線の下に入り、 では全区間で放物線が上辺以下にあるので場合分けする。(2)は を使い、 が1からどれだけ離れるかを調べる。
解答
(1)
放物線は である。長方形は で表される。 のとき、 では となるので、その縦線上では長方形全体が放物線の下にある。 では、放物線の下にある長さは である。よって
である。 のときは、 全体で である。したがって
である。
以上より
である。
(2)
長方形全体の面積は2であるから である。したがって である。
(1)で得た は の増加とともに減少し、 で最大、 で最小である。また となるのは、 の式から すなわち のときである。よって最小値は であり、そのとき である。
最大値は が1から最も離れる端点で生じる。 では であり、 では である。前者の方が1から遠いので、最大は である。その値は
である。