問題
水平な地面に垂直に塔が建っている．目の高さ1.5mの人が地面のある地点に立って塔の頂上を見上げると，仰角（視線が水平面となす角）がであった．ただし，とする．この人が塔に向かって160m近づいて見上げると，仰角がになった．さらに100m近づいて見上げると，仰角がになった．以下の問いに答えよ．
(1) の値を求めよ．
(2) 塔の高さを求めよ．
(3) 同じ人が地点から塔に向かって何m近づくと，塔の頂上を見上げる仰角がになるか．
出典：東北大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第3問
方針
目の高さを除いた塔の高さを 、地点Aから塔までの水平距離を 、 とおく。3地点での正接を 、、 と表し、距離差の比から を決める。 が決まれば、、塔の実際の高さ、 になる地点までの距離を順に求める。
解答
目の高さ1.5mを除いた、目の位置から塔の頂上までの高さを m とする。また、地点Aから塔までの水平距離を m とし、 とおく。
条件より
である。したがって
である。よって
である。
倍角公式 を用いると
である。さらに も同様に代入して整理すると を得る。 だから である。
(1)
である。
(2)
より である。したがって となり、 から である。塔の高さは目の高さ1.5mを足して である。
(3)
地点Aから塔までの距離は である。また である。仰角が となる地点から塔までの距離は である。したがって、地点Aから近づく距離は である。