東北大学 2002年度
文系数学 前期 第4問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 積分、関数
- 解法
- 絶対値の処理、場合分け、微分による最大最小
- 難易度
- 6 / 10 計算量 6 / 10 目安 20分
問題
t≧1において，関数
f(t)=∫−11∣(x−t+2)(x+t)∣dx
を最小にするtの値と，そのときの最小値を求めよ．
出典：東北大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
被積分関数の符号は2つの零点 −t、t−2 の位置で決まる。t≧1 では −t は区間 [−1,1] の外または端点にあり、t−2 だけが 1≦t≦3 で区間内に入る。したがって 1≦t≦3 と t≧3 に分け、絶対値を外して積分し、得た式を微分して最小値を調べる。
解答
被積分関数の中身を ϕ(x)=(x−t+2)(x+t) とおく。零点は x=t−2,x=−t である。t≧1 なので、−t≦−1 である。また t−2 は 1≦t≦3 のとき区間 [−1,1] に入る。
場合1:1≦t≦3
このとき [−1,t−2] では ϕ(x)≦0、[t−2,1] では ϕ(x)≧0 である。よって f(t)=∫−1t−2−ϕ(x)dx+∫t−21ϕ(x)dx である。ここで ϕ(x)=x2+2x+2t−t2 だから、計算すると f(t)=32(2t3−9t2+12t−1) である。したがって f′(t)=4(t−1)(t−2) となる。1≦t≦3 では、t=2 で最小となり f(2)=2 である。
場合2:t≧3
このとき t−2≧1 なので、区間 [−1,1] 全体で ϕ(x)≦0 である。したがって f(t)=∫−11−ϕ(x)dx=32(3t2−6t−1) である。この式の導関数は 4t−4 であり、t≧3 では正である。よってこの範囲での最小は t=3 のときで、値は 16/3 である。
以上より、全体の最小は場合1の t=2 で得られ、最小値は2である。したがって t=2,minf(t)=2 である。
