東北大学 2002年度
文系数学 前期 第2問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 三角関数、関数
- 解法
- 場合分け、微分による最大最小、範囲評価
- 難易度
- 6 / 10 計算量 5 / 10 目安 18分
問題
0∘≦θ≦180∘として，xの関数f(x)を
と定める．xが整数を動くときのf(x)の最小値をm(θ)とおく．
(1) θがcosθ≧23をみたす場合に，m(θ)が最小となるθの値を求めよ．
(2) m(θ)が最小となるθの値と，そのときの最小値を求めよ．
出典：東北大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
放物線の軸は −cosθ/3 で、0∘≦θ≦180∘ では常に [−1,1] 内にある。したがって整数 x での最小は、軸に近い −1,0,1 の3点だけを比べればよい。各値を比較して θ の範囲を [0∘,30∘]、[30∘,150∘]、[150∘,180∘] に分け、各範囲で三角関数の最小を調べる。
解答
放物線 f(x)=x2+32cosθx−2sinθ の軸は x=−3cosθ である。−1≦−cosθ/3≦1 なので、整数 x での最小値は x=−1,0,1 の値を比べれば決まる。
それぞれ
f(−1)f(0)f(1)=1−32cosθ−2sinθ,=−2sinθ,=1+32cosθ−2sinθ
である。比較すると f(−1)≦f(0)⟺cosθ≧23 であり、f(1)≦f(0)⟺cosθ≦−23 である。
(1)
cosθ≧3/2 より 0∘≦θ≦30∘ である。この範囲では m(θ)=f(−1) であり、m(θ)=1−32cosθ−2sinθ である。したがって m(θ) を最小にするには 3cosθ+sinθ を最大にすればよい。 0∘≦θ≦30∘ では
3cosθ+sinθ=32cos(θ−60∘)
であり、θ−60∘ は [−60∘,−30∘] を動く。この範囲では θ=30∘ のとき最大である。よって θ=30∘ である。
(2)
上の比較から
⎩⎨⎧0∘≦θ≦30∘30∘≦θ≦150∘150∘≦θ≦180∘では m(θ)=f(−1),では m(θ)=f(0),では m(θ)=f(1)
である。
中央の範囲では m(θ)=−2sinθ であり、これは sinθ が最大になる θ=90∘ で最小値 −2 をとる。
一方、端の範囲では(1)と対称性から最小でも −1 であり、−2 より小さくならない。したがって全体で θ=90∘,m(θ)=−2 である。
