問題
右の図のような格子状の道路がある．左下の地点から出発し，サイコロを繰り返し振り，次の規則にしたがって進むものとする．1の目が出たら右に2区画，2の目が出たら右に1区画，3の目が出たら上に1区画進み，その他の場合はそのまま動かない．ただし，右端で1または2の目が出たとき，あるいは上端で3の目が出たときは，動かない．また，右端の1区画手前で1の目が出たときは，右端まで進んで止まる．
を7以上の自然数とする．地点から出発し，サイコロを回振るとき，ちょうど6回目に，地点に止まらずに地点を通りすぎ，回までに地点に到達する確率を求めよ．ただし，サイコロのどの目が出るのも，同様に確からしいものとする．
% 図は省略
方針
図の配置を座標で読み、、、 とする。6回目にBに止まらず通過するには、5回後に にいて、6回目に1の目で右へ2区画進む必要がある。まず5回で にいる出方を、右2・右1・上1・停止の個数で数える。6回目以後は から上端のCへ行くだけなので、残り試行で少なくとも1回3の目が出る確率を掛ける。
解答
図の格子点を と読む。1の目は右へ2区画、2の目は右へ1区画、3の目は上へ1区画、4,5,6の目は停止に対応する。
6回目にBに止まらずBを通りすぎるには、5回目の終了時点で にいて、6回目に1の目を出し、右へ2区画進んで に止まる必要がある。
そこで、5回で にいる出方を数える。上へは1回だけ進む必要がある。横方向に2だけ進む方法は次の2通りである。
1つ目は、右へ2区画進む目を1回、上へ進む目を1回、停止を3回出す場合である。この出方は 通りである。停止には4,5,6の3通りがあるため を掛けている。
2つ目は、右へ1区画進む目を2回、上へ進む目を1回、停止を2回出す場合である。この出方は 通りである。したがって5回後に にいる出方は 通りである。
6回目に1の目が出る確率を掛けると、6回目までに指定された通過をする確率は である。
その後は にいる。Cは なので、残り 回のうち少なくとも1回は3の目が出ればCに到達する。逆に、3の目が一度も出なければCには到達しない。したがってその確率は である。
よって求める確率は である。