問題
平面上の点はを出発点とする．， 2個の硬貨を同時に投げて表，裏を調べ，の硬貨が表のときは軸方向に1，裏のときは軸方向にだけ点を平行移動し，の硬貨が表のときは軸方向に1，裏のときは軸方向にだけ点を平行移動する．， 2個の硬貨を同時に投げるという試行を続けて8回行った結果，点が次の集合に属する確率をそれぞれ求めよ．
(1) 集合
(2) 集合
(3) 集合
(4) 集合
出典：東北大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第4問
方針
8回の試行において、硬貨 の表の回数と硬貨 の表の回数を別々に数える。 座標は の表回数だけで、 座標は の表回数だけで決まり、2つは独立な二項分布である。各条件を表回数の条件に翻訳し、必要な二項係数を掛け合わせる。
解答
8回のうち、硬貨 が表であった回数を 、硬貨 が表であった回数を とする。 が表なら は 増え、裏なら 減るので、出発点の から である。同様に、出発点の から である。 と は独立で、それぞれ8回の公平な硬貨投げの表の回数である。
(1)
は より と同値である。したがって確率は である。
(2)
は より である。独立性から
である。
(3)
は である。また は より である。したがって であり、
である。よって求める確率は である。
(4)
は より である。したがって
である。 は(3)と同じく なので、求める確率は である。