問題
3次方程式の3つの解がすべて整数となるような実数の値を求めよ．
出典：東北大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第2問
方針
まず が常に解であることに気づくと、3次方程式を2次式に分解できる。残り2解が整数になる条件を、2次式の解を として解と係数の関係で調べる。 を に変形すれば、整数の組は有限個に絞られ、対応する を求められる。
解答
与えられた多項式を とおく。まず であるから、 は によらず解である。したがって と因数分解できる。
3つの解がすべて整数であるためには、残りの2次方程式 の2つの解も整数であればよい。その2解を とすると、解と係数の関係から である。これらを加えると となる。よって である。 は整数なので、 は積が である整数の組である。したがって順序を除けば だけを調べればよい。これより である。 のとき、 を用いて だから である。 のとき だから である。
実際、 のときの解は 、 のときの解は であり、いずれも整数である。したがって求める値は である。
別解。3つの整数解を とおくと、解と係数の関係から である。第1式と第3式から となり、さらに を得る。積が の整数組を調べても、結局 、 だけが残る。