東北大学 2000年度後期・文系数学後期第1問解答・解説

問題

$∠ A B C = ∠ A C B = 15^{\circ}$ である三角形 $A B C$ について，線分 $A B$ を点 $A$ の側へ延長して，その上に点 $D$ をとり， $A D = B C$ となるようにする．このとき，次の問いに答えよ．

(1) $sin 15^{\circ}$ ， $cos 15^{\circ}$ ， $tan 15^{\circ}$ を求めよ．

(2) $∠ A D C = θ$ とおくとき， $sin θ$ の値を求めよ．

出典：東北大学 2000年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第1問

方針

15度の三角比は $4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}$ の加法定理で出す。後半は相似や座標で複雑にするより、 $B C = 1$ とおいて $A B = A C$ を正弦定理から求め、延長上の点 $D$ に対して三角形 $A C D$ を調べるのが短い。 $A D = 1$ 、 $A C = 2 sin 1 5^{\circ}$ 、 $∠ C A D = 3 0^{\circ}$ から余弦定理で $C D$ を出し、面積または正弦定理で $sin θ$ を求める。

解答

(1)

$1 5^{\circ} = 4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}$ であるから、加法定理より

sin 1 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} - cos 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ} = \frac{6 - 2}{4}

である。同様に

cos 1 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} + sin 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}

である。したがって

tan 1 5^{\circ} = \frac{sin 1 5 ^{\circ}}{cos 1 5 ^{\circ}} = \frac{6 - 2}{6 + 2} = 2 - 3

である。

(2)

$B C = 1$ とおく。 $∠ A B C = ∠ A C B = 1 5^{\circ}$ なので $∠ B A C = 15 0^{\circ}$ であり、さらに $A B = A C$ である。正弦定理から $\frac{A C}{s i n 1 5 ^{\circ}} = \frac{B C}{s i n 15 0 ^{\circ}} = \frac{1}{1/2} = 2$ だから $A C = 2 sin 1 5^{\circ} = \frac{6 - 2}{2}$ である。

点 $D$ は線分 $A B$ を点 $A$ の側へ延長した上にあり、 $A D = B C = 1$ である。 $A D$ は $A B$ と反対向きの半直線なので $∠ C A D = 18 0^{\circ} - ∠ C A B = 3 0^{\circ}$ である。三角形 $A C D$ で余弦定理を用いると $C D^{2} = A C^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A C \cdot A D cos 3 0^{\circ}$ である。ここへ $A C = (6 - 2) /2$ 、 $A D = 1$ を代入して

C D^{2} = 1 + (\frac{6 - 2}{2})^{2} - (\frac{6 - 2}{2}) 3

となる。

また $θ = ∠ A D C$ であり、三角形 $A C D$ の面積を2通りに表すと $\frac{1}{2} A D \cdot C D sin θ = \frac{1}{2} A D \cdot A C sin 3 0^{\circ}$ である。 $A D = 1$ より $sin θ = \frac{A C s i n 3 0 ^{\circ}}{C D}$ となる。したがって

sin θ = \frac{\frac{6 - 2}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1 + ( \frac{6 - 2}{2} ) ^{2} - ( \frac{6 - 2}{2} ) 3}

である。すなわち

sin θ = \frac{6 - 2}{4 1 + ( \frac{6 - 2}{2} ) ^{2} - \frac{3 ( 6 - 2 )}{2}}

である。

東北大学 2000年度後期・文系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2000年度
後期・文系数学後期第1問