問題
2つの正の数，に対し，平面上の3点を，，とする．である各に対し，線分とをに内分する点をそれぞれ，とし，さらに線分をに内分する点をとし，点，の描く直線をとする．ただし，，とする．
(1) 曲線をとで表せ．
(2) 2点，を結ぶ直線の方程式を求め，が，点で曲線に接することを示せ．
(3) 三角形内で直線，が通る点の領域を図示し，その面積を求めよ．ただし，は点，を通る直線とし，は点，を通る直線とする．
方針
内分点をすべて で座標化し、まず の軌跡を媒介変数表示から消去する。次に の直線の傾きと、得られた放物線の接線の傾きを比較して接線性を示す。最後の通過領域は、三角形 の内部で放物線より上の部分になるので、三角形の面積から放物線下の面積を引いて求める。
解答
(1)
は を に内分する点だから である。同様に である。さらに は を に内分するので であり、座標は となる。
ここで だから
である。 より なので、曲線 は である。
(2)
直線 は を通る。傾きは である。したがって、 を通る形で と書ける。整理すれば である。
一方、曲線 の媒介変数表示から なので、 における接線の傾きは である。また は線分 上の点であるから、直線 上にある。よって は点 で曲線 に接する。
(3)
三角形 の上側の境界は、 で直線 、 で直線 である。 は曲線 の接線であり、この放物線は上に凸、すなわち下向きの放物線なので、接線は放物線の上側にある。したがって、三角形内で が通る点の領域は、三角形 の内部のうち を満たす部分である。
三角形 の面積は である。また放物線と 軸で囲まれる部分の面積は
である。よって求める面積は である。
別解。点 がある接線 上にある条件を、 についての方程式と見ると である。これが実数 をもつための判別式条件を整理すると が得られる。これは上の領域判定と一致する。