問題
等式
を満たす実数，が存在するような，実数の範囲を求めよ．ただし，である．
出典：東北大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
複素数の等式が になる条件は、実部と虚部がともに になることである。虚部の式から を で表し、実部へ代入して についての2次方程式にする。求めるのは の値ではなく実数解の存在する の範囲なので、判別式が 以上である条件を端点込みで整理する。
解答
与えられた式の実部と虚部をそれぞれ とおくと である。第2式より であるから、これを第1式に代入して すなわち を得る。
ここで を固定して考えると、これは についての2次方程式である。実数 が存在するための必要十分条件は判別式が 以上であることだから である。左辺を整理すると なので となる。したがって である。
逆に、 なら上の2次方程式は実数解 をもち、その に対して と定めれば実部・虚部がともに になる。よって求める範囲は である。
別解。 を平方完成すると である。左辺第1項は 以上なので、この等式が実数 で成り立つには が必要十分である。これも と同じ条件を与える。