東北大学 2000年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

$∣ x^{2} - 3 x + 1∣ > ∣ x^{2} - 1∣ - ∣2 x - 1∣$ を満たす $x$ の範囲を求めよ．

出典：東北大学 2000年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

絶対値の中身が符号を変える点をすべて拾って実数軸を分割する。必要な分点は $x^{2} - 1$ の $- 1, 1$ 、 $2 x - 1$ の $1/2$ 、 $x^{2} - 3 x + 1$ の $(3 \pm 5) /2$ である。各区間では絶対値を外して一次または二次不等式に直し、区間条件との共通部分だけを残して和集合を作る。

解答

符号が変わる点は、小さい順に

- 1, \frac{3 - 5}{2}, \frac{1}{2}, 1, \frac{3 + 5}{2}

である。これらで実数軸を分けて絶対値を外す。 $x < - 1$ では $x^{2} - 3 x + 1 > 0, x^{2} - 1 > 0, 2 x - 1 < 0$ だから、不等式は $x^{2} - 3 x + 1 > (x^{2} - 1) - (- (2 x - 1)) = x^{2} + 2 x - 2$ となる。したがって $3 - 5 x > 0$ 、すなわち $x < 3/5$ であり、この区間ではすべて成り立つ。 $- 1 ≦ x < \frac{3 - 5}{2}$ では $x^{2} - 3 x + 1 > 0, x^{2} - 1 < 0, 2 x - 1 < 0$ なので $x^{2} - 3 x + 1 > - (x^{2} - 1) + (2 x - 1)$ すなわち $2 x^{2} - 5 x + 1 > 0$ である。よって $x < \frac{5 - 17}{4} または x > \frac{5 + 17}{4}$ であり、この区間との共通部分は $- 1 ≦ x < \frac{5 - 17}{4}$ である。 $\frac{3 - 5}{2} ≦ x < \frac{1}{2}$ では整理すると $x - 1 > 0$ となるので解はない。 $\frac{1}{2} ≦ x < 1$ では整理すると $5 x - 3 > 0$ となるから $\frac{3}{5} < x < 1$ を得る。 $1 ≦ x < \frac{3 + 5}{2}$ では $- (x^{2} - 3 x + 1) > (x^{2} - 1) - (2 x - 1)$ より $- 2 x^{2} + 5 x - 1 > 0$ である。したがって $\frac{5 - 17}{4} < x < \frac{5 + 17}{4}$ であり、この区間との共通部分は $1 ≦ x < \frac{5 + 17}{4}$ である。最後に $x ≧ \frac{3 + 5}{2}$ では整理すると $1 - x > 0$ となり解はない。

以上を合わせて

x < \frac{5 - 17}{4} または \frac{3}{5} < x < \frac{5 + 17}{4}

である。したがって求める範囲は

(- \infty, \frac{5 - 17}{4}) \cup (\frac{3}{5}, \frac{5 + 17}{4})

である。

東北大学 2000年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

東北大学 2000年度
文系数学前期第3問