問題
，，とする．
(1) 負でない整数の組で，ベクトルの大きさが3以下となるものは全部で何通りあるか．
(2) をみたす3つの負でない整数の組で，ベクトルの大きさが3以下となるものは全部で何通りあるか．
出典：東北大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第4問
方針
与えられた3つのベクトルを成分表示し、条件を格子点の数え上げに直す。(1)では なので、中心 、半径3の円内にある非負格子点を数える。(2)では を固定すると の条件が 、 になる。 だけを表で数え、 では不可能であることを確認する。
解答
(1)
である。したがって条件は である。 ごとに数える。 の値は だけを考えればよい。
したがって個数は である。よって である。
(2)
である。したがって条件は である。 を固定して数える。 のときは、中心 に近い点を取ろうとしても となり、円内に入ることができない。したがって を調べればよい。
各行は、該当する小さな三角形領域内の格子点を直接数えたものである。したがって合計は である。よって である。