東北大学 1999年度
後期・文系数学 後期 第3問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 関数、微分、図形と方程式
- 解法
- 必要十分条件、微分による最大最小、場合分け
- 難易度
- 7 / 10 計算量 7 / 10 目安 20分
問題
xy平面において，不等式y≦x3−3p2(x−2)−qで定まる領域をD，不等式1≦x≦2，y≦0で定まる領域をEとする．EがDに含まれるためのp，qについての条件を求めよ．また，この条件をみたす(p,q)の領域をpq平面に図示せよ．
出典：東北大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第3問
方針
E は 1≦x≦2、y≦0 の下向きの領域である。これが D に含まれるには、各 x∈[1,2] で境界線 y=0 が D に入れば十分かつ必要である。したがって x3−3p2(x−2)−q≧0 が区間全体で成り立つ条件に直す。これは h(x)=x3−3p2x+6p2 の最小値を [1,2] で求める問題であり、∣p∣ が区間の左・内部・右のどこにあるかで場合分けする。
解答
領域 D は y≦x3−3p2(x−2)−q で定まる。領域 E は 1≦x≦2、y≦0 であるから、E⊂D となるためには、すべての 1≦x≦2 について、E の上端である y=0 が D に含まれればよい。すなわち 0≦x3−3p2(x−2)−q(1≦x≦2) が必要十分である。
したがって q≦x3−3p2x+6p2(1≦x≦2) がすべての x で成り立てばよい。つまり q≦min1≦x≦2{x3−3p2x+6p2} である。
ここで h(x)=x3−3p2x+6p2 とおくと h′(x)=3x2−3p2=3(x2−p2) である。区間 [1,2] では x>0 なので、臨界点として関係するのは x=∣p∣ である。 ∣p∣≦1 のとき、[1,2] で x2−p2≧0 だから h(x) は増加する。よって最小値は h(1)=1−3p2+6p2=1+3p2 である。 1≦∣p∣≦2 のとき、h(x) は 1≦x≦∣p∣ で減少し、∣p∣≦x≦2 で増加する。よって最小値は h(∣p∣)=∣p∣3−3p2∣p∣+6p2=−2∣p∣3+6p2 である。 ∣p∣≧2 のとき、[1,2] で x2−p2≦0 だから h(x) は減少する。よって最小値は h(2)=8−6p2+6p2=8 である。
以上より、求める条件は
q≦⎩⎨⎧1+3p2−2∣p∣3+6p28(∣p∣≦1),(1≦∣p∣≦2),(∣p∣≧2)
である。
図示すると、pq 平面で上の境界曲線 q=1+3p2(∣p∣≦1), q=−2∣p∣3+6p2(1≦∣p∣≦2), q=8(∣p∣≧2) を描き、その下側全体を塗った領域である。境界はすべて含む。
