東北大学 1999年度
後期・文系数学 後期 第2問

解答

(1)

$u=\tan \alpha ,v=\tan \beta$ とおく。$0^{\circ }<\alpha ,\beta <90^{\circ }$ なので $u>0,v>0$ であり、条件は $u+2v=3$ である。

また $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+u^2,\frac{1}{{\cos }^2\beta }=1+v^2$ であり、

である。したがって

よって $\boxed{T=18}$ である。

(2)

$L=\frac{1}{\cos \alpha }+\frac{2}{\cos \beta }=\sqrt{1+u^2}+2\sqrt{1+v^2}$ であり、$u+2v=3$ である。$u=3-2v$ とおくと、$0<v<3/2$ で $L(v)=\sqrt{1+(3-2v{)}^2}+2\sqrt{1+v^2}$ である。微分すると $L^{\prime }(v)=-2\frac{3-2v}{\sqrt{1+(3-2v{)}^2}}+2\frac{v}{\sqrt{1+v^2}}$ である。内部で最小をとる点では $L^{\prime }(v)=0$ だから $\frac{3-2v}{\sqrt{1+(3-2v{)}^2}}=\frac{v}{\sqrt{1+v^2}}$ である。両辺は正なので、両辺を2乗して整理すると $(3-2v{)}^2(1+v^2)=v^2\{1+(3-2v{)}^2\}$ となり、$(3-2v{)}^2=v^2$ である。$3-2v>0,v>0$ より $3-2v=v$ であり、$u=v=1$ を得る。

このとき $L=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$ である。端に近づくと、$v\to 0$ では $L\to \sqrt{10}+2$、$v\to 3/2$ では $L\to 1+\sqrt{13}$ であり、いずれも $3\sqrt{2}$ より大きい。したがって最小値は $\boxed{3\sqrt{2}}$ である。 $u=v=1$ だから $\tan \alpha =\tan \beta =1$ であり、角はともに第1象限なので $\boxed{\alpha =\beta =45^{\circ }}$ である。

別解。 $L$ は点 $(u,v)$ が直線 $u+2v=3$ 上を動くときの、2つの曲線的な距離の和である。最小点では、制約直線に沿って少し動かしたときの増減が釣り合うため、上の微分条件 $\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}=\frac{v}{\sqrt{1+v^2}}$ が出る。正の範囲ではこの関数は単調増加なので、直ちに $u=v$ と分かる。