問題
放物線上に2点
をとる．におけるの接線と，におけるの接線の交点をとする．
(1) の座標を，を用いて表せ．
(2) のとき，との関係式を求めよ．
(3) という関係を満たすように，を動かすとき，の軌跡を求め，それを図示せよ．
出典：東北大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
放物線上の における接線を求め，2本の接線の交点 を対称式 , で表す。角条件は2直線の傾きのなす角の公式で に直す。最後は とおいて対称式を消去し，実際に点が存在する範囲も確認する。
解答
(1) 放物線 の導関数は である。したがって における接線の傾きは であり，接線は すなわち である。 における接線と における接線の交点を とする。2本の接線の式は である。これらを等しくすると であり， だから である。よって となる。これを接線の式に代入して である。したがって である。
(2) 2本の接線の傾きはそれぞれ である。2直線のなす角を とすると である。なお のときは2直線が直交し，角は になるので本問の条件には合わない。したがって が求める関係式である。
(3) とおくと，(1) より である。すなわち である。(2) の条件は であり，左辺は だから となる。整理すると であり，よって を得る。
逆に， を満たす点 に対して を満たす を考えると，判別式は となり，条件を満たす2点 を取ることができる。したがって軌跡は である。これは原点を中心とし， 軸方向に開く双曲線で， と の2つの枝を図示すればよい。