東北大学 1995年度
文系数学 前期 第3問

解答

$x^4$ の係数が1であるから $f(x)=x^4+p{x}^3+q{x}^2+rx+s$ とおく。区間が $[-1,1]$ なので，奇関数の積分は0であることを用いる。

まず $n=1$ の条件を使うと ${\int }_{-1}^{1}xf(x)dx={\int }_{-1}^1(x^5+p{x}^4+q{x}^3+r{x}^2+sx)dx=0$ である。奇関数の項は消えるので $\frac{2p}{5}+\frac{2r}{3}=0$ すなわち $\frac{p}{5}+\frac{r}{3}=0$ である。また $n=3$ の条件から ${\int }_{-1}^1{x}^{3}f(x)dx=0$ より $\frac{2p}{7}+\frac{2r}{5}=0$ すなわち $\frac{p}{7}+\frac{r}{5}=0$ である。2式を連立すると $p=r=0$ である。

したがって $f(x)=x^4+q{x}^2+s$ と書ける。$n=0$ の条件は ${\int }_{-1}^1(x^4+q{x}^2+s)dx=0$ であり，$\frac{2}{5}+\frac{2q}{3}+2s=0$ となる。$n=2$ の条件は ${\int }_{-1}^1{x}^2(x^4+q{x}^2+s)dx=0$ であり，$\frac{2}{7}+\frac{2q}{5}+\frac{2s}{3}=0$ となる。2で割って整理すると $\frac{1}{5}+\frac{q}{3}+s=0,\frac{1}{7}+\frac{q}{5}+\frac{s}{3}=0$ である。第1式から $s=-\frac{1}{5}-\frac{q}{3}$ として第2式に代入すると $\frac{1}{7}+\frac{q}{5}-\frac{1}{15}-\frac{q}{9}=0$ すなわち $\frac{8}{105}+\frac{4q}{45}=0$ である。よって $q=-\frac{6}{7}$ であり，$s=-\frac{1}{5}+\frac{2}{7}=\frac{3}{35}$ である。したがって $\boxed{f(x)=x^4-\frac{6}{7}{x}^2+\frac{3}{35}}$ を得る。

別解。初めから偶関数になることを予想してもよい。条件 $n=1,3$ は奇数次係数 $p,r$ だけに関係する2本の一次方程式になり，その係数行列の比が一致しないため $p=r=0$ と決まる。あとは $x^4+q{x}^2+s$ だけを $1,x^2$ と積分して直交させれば，上と同じ連立方程式になる。