東北大学 1981年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

(1) $y = 2∣ x ∣ - \frac{3}{2} + 2 ∣ x ∣ - \frac{3}{4}$ のグラフをかけ．

(2) (1)のグラフと放物線 $y = x^{2} + 1$ とで囲まれる領域を $y$ 軸のまわりに回転して得られる立体の体積を求めよ．

出典：東北大学 1981年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

絶対値は $u = ∣ x ∣$ と置くと外しやすい。 $0 ≦ u ≦ 3/4$ ではグラフは $y = 0$ 、 $u ≧ 3/4$ では $y = 4 u - 3$ となる。放物線との交点は $x = \pm 2$ で、囲まれる領域は $y$ 軸対称である。体積は右半分の縦帯を $y$ 軸のまわりに回す薄い円筒として考え、 $0 ≦ x ≦ 3/4$ と $3/4 ≦ x ≦ 2$ に分けて積分する。

解答

(1)

$u = ∣ x ∣$ とおくと、与えられた式は $y = 2 u - \frac{3}{2} + 2 u - \frac{3}{4}$ である。 $0 ≦ u ≦ 3/4$ のとき $u - \frac{3}{4} = \frac{3}{4} - u$ なので $y = 2 u - \frac{3}{2} + 2 (\frac{3}{4} - u) = 0$ である。 $u ≧ 3/4$ のときは $u - \frac{3}{4} = u - \frac{3}{4}$ だから $y = 2 u - \frac{3}{2} + 2 (u - \frac{3}{4}) = 4 u - 3$ である。したがってグラフは

y = 0 (∣ x ∣ ≦ \frac{3}{4}), y = 4∣ x ∣ - 3 (∣ x ∣ ≧ \frac{3}{4})

で表される、 $y$ 軸対称の折れ線である。

(2)

放物線 $y = x^{2} + 1$ との交点を調べる。右側 $x ≧ 3/4$ では折れ線は $y = 4 x - 3$ なので $x^{2} + 1 = 4 x - 3$ すなわち $(x - 2)^{2} = 0$ である。よって右側の交点は $x = 2$ 、左側は対称性により $x = - 2$ である。

領域は $y$ 軸対称であるから、右半分を $y$ 軸のまわりに回転して考える。半径 $x$ 、高さが上下の差である薄い円筒を積分する。 $0 ≦ x ≦ 3/4$ では下側のグラフは $y = 0$ なので高さは $x^{2} + 1$ である。 $3/4 ≦ x ≦ 2$ では下側のグラフは $y = 4 x - 3$ なので高さは $x^{2} + 1 - (4 x - 3) = x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ である。したがって体積 $V$ は $V = 2 π \int_{0}^{3/4} x (x^{2} + 1) d x + 2 π \int_{3/4}^{2} x (x - 2)^{2} d x$ である。

第1の積分は

\int_{0}^{3/4} x (x^{2} + 1) d x = [\frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{3/4} = \frac{369}{1024}

である。第2の積分は $\int_{3/4}^{2} x (x - 2)^{2} d x = \int_{3/4}^{2} (x^{3} - 4 x^{2} + 4 x) d x$ であり、

= [\frac{x ^{4}}{4} - \frac{4 x ^{3}}{3} + 2 x^{2}]_{3/4}^{2} = \frac{2125}{3072}

である。よって

\frac{369}{1024} + \frac{2125}{3072} = \frac{1107 + 2125}{3072} = \frac{101}{96}

だから $V = \frac{101 π}{48}$ である。

別解。水平断面で見ると、 $0 ≦ y ≦ 1$ では外半径が $(y + 3) /4$ 、内半径が0である。 $1 ≦ y ≦ 5$ では外半径が $(y + 3) /4$ 、内半径が $y - 1$ である。したがって

V = π \int_{0}^{1} (\frac{y + 3}{4})^{2} d y + π \int_{1}^{5} {(\frac{y + 3}{4})^{2} - (y - 1)} d y

となり、これも $101 π /48$ を与える。

東北大学 1981年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1981年度
文系数学前期第3問