東北大学 1981年度
文系数学 前期 第2問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 関数、微分
- 解法
- 増減表、場合分け、微分による最大最小
- 難易度
- 5 / 10 計算量 5 / 10 目安 10〜15分
問題
区間0≦x≦1において，関数
f(x)=−x3+3ax(aは定数)
の最大値と最小値を求めよ．
出典：東北大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
導関数 f′(x)=3(a−x2) の符号を、臨界点 x=a が区間 [0,1] に入るかで分ける。a<0 では単調減少、a>1 では単調増加、0≦a≦1 では x=a で最大値をとる。最小値は端点 x=0,1 の比較になり、3a−1 と0の大小が a=1/3 で入れ替わる。
解答
与えられた関数は f(x)=−x3+3ax である。微分すると f′(x)=−3x2+3a=3(a−x2) である。また端点での値は f(0)=0,f(1)=3a−1 である。
1. a<0 のとき
0≦x≦1 では a−x2<0 だから f′(x)<0 である。したがって f(x) は単調減少し、maxf(x)=0,minf(x)=3a−1 である。
2. 0≦a≦1 のとき
このとき x=a が区間 [0,1] に入る。0<x<a では f′(x)>0、a<x<1 では f′(x)<0 なので、x=a で最大値をとる。その値は f(a)=−(a)3+3aa=2aa である。
最小値は端点で比較する。端点値は 0 と 3a−1 であり、3a−1≦0⟺a≦31 である。したがって
0≦a≦31 のときmaxf(x)=2aa,minf(x)=3a−1
であり、
31≦a≦1 のときmaxf(x)=2aa,minf(x)=0
である。a=1/3 では最小値は両端で同じく0になる。
3. a>1 のとき
0≦x≦1 では a−x2>0 だから f′(x)>0 である。したがって f(x) は単調増加し、maxf(x)=3a−1,minf(x)=0 である。
