東京工業大学 2007年度 AO・理系数学第3問解答・解説

問題

正の実数 $a$ ， $b$ に対して，以下の条件(1)，(2)，(3)を満たす関数 $f (x)$ が存在することを証明せよ。

(1) $f (x)$ は $0 ≦ x ≦ a$ における連続な実数値関数で， $f (0) = b$ ， $f (a) = 0$ を満たす。

(2) $0 ≦ x_{1} < x_{2} ≦ a$ なるすべての $x_{1}$ ， $x_{2}$ に対して $f (x_{1}) > f (x_{2})$ である。

(3) $y = f (x)$ のグラフと $x$ 軸， $y$ 軸とで囲まれる部分を， $x$ 軸のまわりに回転して得られる立体の体積 $V_{x}$ と $y$ 軸のまわりに回転して得られる立体の体積 $V_{y}$ とは等しい。

出典：東京工業大学 2007年度 AO入試 AO・理系第3問

方針

$x$ と $y$ をそれぞれ $a$ ， $b$ で割って無次元化し，単位正方形内の減少曲線 $y = b φ (x / a)$ を作る。比 $b / a$ が1以下のときは $φ (u) = (1 - u)^{c}$ ，1以上のときは $φ (u) = 1 - u^{c}$ を使い，回転体の体積比が連続的に必要な範囲を動くことを示す。

解答

まず $0 < λ = \frac{b}{a}$ とおく。

$λ ≦ 1$ の場合

$c ≧ 1$ に対して $φ_{c} (u) = (1 - u)^{c} (0 ≦ u ≦ 1)$ とおく。この関数は連続で狭義単調減少であり， $φ_{c} (0) = 1, φ_{c} (1) = 0$ である。

$f (x) = b φ_{c} (\frac{x}{a})$ とすると，

V_{x} = π a b^{2} \int_{0}^{1} φ_{c} (u)^{2} d u = π a b^{2} \frac{1}{2 c + 1}

である。また逆関数を用いて $y$ 軸のまわりの体積を求めると，

V_{y} = π a^{2} b \int_{0}^{1} (1 - v^{1/ c})^{2} d v = π a^{2} b \frac{2}{( c + 1 ) ( c + 2 )}

である。したがって $V_{x} = V_{y}$ は $λ = \frac{2 ( 2 c + 1 )}{( c + 1 ) ( c + 2 )}$ と同値である。右辺は $c = 1$ で1となり， $c \to \infty$ で0に近づく連続関数である。よって $0 < λ ≦ 1$ を満たす任意の $λ$ に対して，この等式を満たす $c ≧ 1$ が存在する。

$λ ≧ 1$ の場合

$0 < c ≦ 1$ に対して $ψ_{c} (u) = 1 - u^{c} (0 ≦ u ≦ 1)$ とおく。この関数も連続で狭義単調減少であり， $ψ_{c} (0) = 1, ψ_{c} (1) = 0$ である。

$f (x) = b ψ_{c} (\frac{x}{a})$ とすると，

V_{x} = π a b^{2} \int_{0}^{1} (1 - u^{c})^{2} d u = π a b^{2} \frac{2 c ^{2}}{( c + 1 ) ( 2 c + 1 )}

であり，逆関数から

V_{y} = π a^{2} b \int_{0}^{1} (1 - v)^{2/ c} d v = π a^{2} b \frac{c}{c + 2}

である。したがって $V_{x} = V_{y}$ は $λ = \frac{( c + 1 ) ( 2 c + 1 )}{2 c ( c + 2 )}$ と同値である。右辺は $c = 1$ で1となり， $c \to + 0$ で限りなく大きくなる連続関数である。よって $λ ≧ 1$ を満たす任意の $λ$ に対して，この等式を満たす $0 < c ≦ 1$ が存在する。

以上により，任意の正の実数 $a, b$ に対して，条件(1)，(2)，(3)を満たす関数 $f (x)$ が存在する。

東京工業大学 2007年度AO・理系数学 第3問

問題

方針

解答

λ≦1 の場合

λ≧1 の場合

東京工業大学 2007年度
AO・理系数学第3問

$λ ≦ 1$ の場合

$λ ≧ 1$ の場合