東京工業大学 2007年度 AO・理系数学第1問解答・解説

問題

整数 $m = 1, 2, \dots$ に対して，実数 $x$ の関数 $g_{m} (x)$ を $g_{m} (x) = \int_{x}^{x + \frac{π}{2}} (sin θ)^{2 m} d θ$ と定める。 $g_{m} (x)$ の最小値を $a_{m}$ ，最大値を $b_{m}$ とするとき，極限値 $lim_{m \to \infty} \frac{a _{m}}{b _{m}}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 2007年度 AO入試 AO・理系第1問

方針

$g_{m}^{'} (x)$ を上端と下端の差で計算し， $cos^{2 m} x - sin^{2 m} x$ の符号から最大・最小となる区間を決める。最小値は $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ ，最大値は $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]$ 上の積分で表せるので，上下から指数的な評価をして比の極限を求める。

解答

$g_{m} (x)$ は周期 $π$ をもつ。微分すると

g_{m}^{'} (x) = sin^{2 m} (x + \frac{π}{2}) - sin^{2 m} x = cos^{2 m} x - sin^{2 m} x

である。したがって $g_{m} (x)$ は $x = - \frac{π}{4}$ で最小， $x = \frac{π}{4}$ で最大をとる。よって

a_{m} = \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} sin^{2 m} θ d θ = 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} sin^{2 m} θ d θ

であり，

b_{m} = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} sin^{2 m} θ d θ = 2 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} sin^{2 m} θ d θ

である。

$0 ≦ θ ≦ \frac{π}{4}$ では $sin θ ≦ \frac{1}{2}$ であるから $a_{m} ≦ \frac{π}{2} (\frac{1}{2})^{m}$ である。一方， $\frac{π}{3} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ では $sin θ ≧ \frac{3}{2}$ であるから

b_{m} ≧ 2 \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} (\frac{3}{2})^{2 m} d θ = \frac{π}{3} (\frac{3}{4})^{m}

である。したがって $0 ≦ \frac{a _{m}}{b _{m}} ≦ \frac{3}{2} (\frac{2}{3})^{m}$ となる。はさみうちにより

m \to \infty lim \frac{a _{m}}{b _{m}} = 0

である。

東京工業大学 2007年度AO・理系数学 第1問

問題

方針

解答

東京工業大学 2007年度
AO・理系数学第1問