問題
一辺の長さが の正方形のプールの一つの角に監視員を置く。この監視員は水中は秒速 でプールの縁上は秒速 で移動するとする。この監視員がこのプールのどこへでも到達しうるには，最短で何秒必要か計算せよ。ただし，物事を単純化するため，(i)監視員は点，プールの縁は線と考え，(ii)プールの縁上でも水中でもどの方向に曲ることも自由自在で，それぞれでの秒速は一定だとする。
方針
一辺を1に縮尺して，最後に10倍する。出発点を ，到達点を とし，対称性から としてよい。左辺から水中へ入る経路と，上辺から水中へ入る経路の最短時間をそれぞれ一次式で表し，その小さい方が常に一定値以下であることを示す。等号点も示して最大最短時間を確定する。
解答
一辺の長さを1として考え，最後に10倍する。出発点を ，到達点を とする。正方形の対称性により としてよい。
左辺上の点 まで縁を進み，そこから水中を直進する時間は である。これを について最小にすると， のとき となる。
また，上辺上の点 まで縁を進み，そこから水中を直進する時間を考える。もし なら， なので十分である。以下では としてよい。このとき と取れるので，この経路の最短時間は である。
とおく。もし かつ なら， からである。これと より となる。すると なので となり矛盾する。したがって任意の点は時間 以内に到達できる。
一方，点 について考える。縁上を進んでから水中を直進する経路だけを調べればよい。実際，水中で折れ曲がる部分は直線に直せば時間が増えず，縁に複数回戻る経路も，最後に水中へ入る縁上の点まで縁を進んだ後に水中を直進する経路で置き換えて時間は増えない。したがって左辺・下辺・上辺・右辺のいずれから水中に入るかを調べれば十分であり，この点ではその最短時間がいずれもちょうど である。したがって一辺1の正方形で必要な最短時間は である。
もとのプールは一辺10であるから，求める時間は 秒である。