大阪大学 2025年度
理系数学 第5問

解答

(1)

1回の操作は，左から1文字目と2文字目，または2文字目と3文字目を入れかえる操作である。いずれも隣り合う2文字の交換なので，文字列の偶奇は1回ごとに変わる。最初の $ABC$ は偶数回の交換後には $ABC,BCA,CAB$ のいずれかになり，奇数回の交換後には残り3つの文字列になる。

偶数回後の3つの文字列だけを考え，さらに2回操作する。どの文字列から始めても，2回の結果が「表，表」または「裏，裏」であれば同じ隣接交換を2回行うので，もとの文字列に戻る。これは確率 $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ で起こる。一方，「表，裏」と「裏，表」の2通りでは，残り2つの偶数回後の文字列にそれぞれ移る。したがって，2回を1単位として見たとき，同じ文字列にとどまる確率は $\frac{1}{2}$，他の2つへ移る確率はそれぞれ $\frac{1}{4}$ である。

$2k$ 回後に $ABC,BCA,CAB$ である確率をそれぞれ $p_{2k},q_{2k},r_{2k}$ とおく。上の2回ごとの移り方より $p_{2k+2}=\frac{1}{2}{p}_{2k}+\frac{1}{4}{q}_{2k}+\frac{1}{4}{r}_{2k}$ であり，$q_{2k+2}=\frac{1}{4}{p}_{2k}+\frac{1}{2}{q}_{2k}+\frac{1}{4}{r}_{2k}$ である。したがって差を取ると $p_{2k+2}-q_{2k+2}=\frac{1}{4}(p_{2k}-q_{2k})$ となる。

最初は $p_0=1$，$q_0=0$ であるから $p_0-q_0=1$ である。よって，$k$ を正の整数とすると $p_{2k}-q_{2k}={\left(\frac{1}{4}\right)}^k$ である。

(2)

偶数回後には $ABC,BCA,CAB$ のいずれかであり，その確率の和は $1$ である。また，$BCA$ と $CAB$ は左右対称な役割をもち，最初はどちらも確率 $0$，2回ごとの移り方でも同じように扱われるので $\mathrm{Pr}(BCA)=\mathrm{Pr}(CAB)=q_{2k}$ である。したがって $p_{2k}+2q_{2k}=1$ である。

(1)の $p_{2k}-q_{2k}={\left(\frac{1}{4}\right)}^k$ と合わせると，$3p_{2k}=1+2{\left(\frac{1}{4}\right)}^k$ であるから $p_{2k}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{\left(\frac{1}{4}\right)}^k$ を得る。

一方，奇数回後は奇数回の交換を行った後なので，偶数回の交換で得られる $ABC$ にはならない。したがって $p_{2k-1}=0(k=1,2,3,\dots )$ である。

以上より，正の整数 $n$ に対して

である。