問題
とを実数とし，関数はで極大値をとし，で極小値をとるとする．
(1) をとを用いて表せ．
(2) とがを満たしながら動くとき，曲線の変曲点の軌跡を求めよ．
出典：大阪大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
を平方完成し， とおく。極大・極小が存在するには が必要で，極大点は ，極小点は である。 と平行移動すると，三次関数は になり，極値差は と読める。(2)では から ，すなわち を得て，変曲点 の 座標を計算し，媒介変数 を消去する。極値差は の符号つき面積で求める別解も自然である。
解答
(1)
まず である。 が極大値と極小値をもつので， は異なる2つの実数解をもち， である。そこで とおくと， であり， である。三次関数の増減より，左側の解で極大，右側の解で極小をとるから である。
ここで とおく。すなわち とする。すると
したがって， のとき ， のとき であるから，
よって である。
(2)
条件 と(1)より である。 だから すなわち である。
変曲点は で求まる。実際， だから，変曲点の 座標は である。そのときの 座標は
ここに を代入すると である。さらに ，すなわち であるから となる。逆に任意の実数 に対して とすれば条件を満たすので，この曲線上の点はすべて現れる。
したがって，求める軌跡は である。
別解。極値差は の面積からも求められる。 とおくと， から までで は から まで動き，その区間では である。よって
これにより(1)と同じ式が得られ，その後は同様に として変曲点の軌跡を求めればよい。