大阪大学 2025年度理系数学第4問解答・解説

問題

次の問いに答えよ．

(1) $t > 0$ のとき

- \frac{1}{t} < \int_{t}^{2 t} \frac{sin x}{x ^{2}} d x < \frac{1}{t}

が成り立つことを示せ．

(2) $t \to \infty lim \int_{t}^{2 t} \frac{cos x}{x} d x = 0$ を示せ．

(3) $f (x) = sin (\frac{3 x}{2}) sin (\frac{x}{2})$ とおく．

t \to \infty lim \int_{1}^{t} \frac{f ( x )}{x} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{cos x}{x} d x

を示せ．

出典：大阪大学 2025年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

(1)は積分そのものではなく絶対値を評価し， $∣ sin x ∣ ≦ 1$ から $\int_{t}^{2 t} x^{- 2} d x = 1/ (2 t)$ を使う。(2)は $sin x / x$ を微分した形から部分積分し，端点項と(1)の積分に分けてどちらも $0$ に近づくことを示す。(3)は積和公式で $f (x) = \frac{1}{2} (cos x - cos 2 x)$ とし， $u = 2 x$ の置換で第2項の区間を $[2, 2 t]$ に直す。あとは $[1, t]$ と $[2, 2 t]$ の差を $[1, 2]$ と $[t, 2 t]$ に分け，(2)で後者を消す。

解答

(1)

$t > 0$ とする。 $t ≦ x ≦ 2 t$ では $x > 0$ であり， $∣ sin x ∣ ≦ 1$ だから

\int_{t}^{2 t} \frac{sin x}{x ^{2}} d x ≦ \int_{t}^{2 t} \frac{∣ sin x ∣}{x ^{2}} d x ≦ \int_{t}^{2 t} \frac{1}{x ^{2}} d x

である。右辺は $\int_{t}^{2 t} \frac{1}{x ^{2}} d x = [- \frac{1}{x}]_{t}^{2 t} = \frac{1}{2 t}$ であり， $\frac{1}{2 t} < \frac{1}{t}$ である。したがって $- \frac{1}{t} < \int_{t}^{2 t} \frac{s i n x}{x ^{2}} d x < \frac{1}{t}$ が成り立つ。

(2)

$\frac{sin x}{x}$ を微分すると $(\frac{s i n x}{x})^{'} = \frac{c o s x}{x} - \frac{s i n x}{x ^{2}}$ である。よって $\frac{c o s x}{x} = (\frac{s i n x}{x})^{'} + \frac{s i n x}{x ^{2}}$ であり，積分して

\int_{t}^{2 t} \frac{cos x}{x} d x = [\frac{sin x}{x}]_{t}^{2 t} + \int_{t}^{2 t} \frac{sin x}{x ^{2}} d x

を得る。

第1項は

[\frac{sin x}{x}]_{t}^{2 t} = \frac{sin 2 t}{2 t} - \frac{sin t}{t} ≦ \frac{1}{2 t} + \frac{1}{t}

なので $t \to \infty$ で $0$ に近づく。第2項も(1)より絶対値が $1/ t$ 未満であるから $0$ に近づく。したがって $lim_{t \to \infty} \int_{t}^{2 t} \frac{c o s x}{x} d x = 0$ である。

(3)

積和公式より $f (x) = sin \frac{3 x}{2} sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2} (cos x - cos 2 x)$ である。したがって

\int_{1}^{t} \frac{f ( x )}{x} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{t} \frac{cos x}{x} d x - \frac{1}{2} \int_{1}^{t} \frac{cos 2 x}{x} d x

である。

第2項で $u = 2 x$ とおくと， $d u = 2 d x$ ， $x = u /2$ だから $\int_{1}^{t} \frac{c o s 2 x}{x} d x = \int_{2}^{2 t} \frac{c o s u}{u} d u$ である。よって， $t > 2$ として整理すると

\int_{1}^{t} \frac{f ( x )}{x} d x = \frac{1}{2} (\int_{1}^{t} \frac{cos x}{x} d x - \int_{2}^{2 t} \frac{cos x}{x} d x) = \frac{1}{2} (\int_{1}^{2} \frac{cos x}{x} d x - \int_{t}^{2 t} \frac{cos x}{x} d x) .

(2)より $lim_{t \to \infty} \int_{t}^{2 t} \frac{c o s x}{x} d x = 0$ であるから，両辺の極限を取って

t \to \infty lim \int_{1}^{t} \frac{f ( x )}{x} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{cos x}{x} d x

を得る。

大阪大学 2025年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2025年度
理系数学第4問