問題
空間内の2直線はねじれの位置にあるとする．との両方に直交する直線がただ1つ存在することを示せ．
出典：大阪大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
2直線を ， と媒介変数で表す。ねじれの位置にあるので方向ベクトル は平行ではない。二点を結ぶベクトルが両直線に直交する条件を内積で立てると， についての連立一次方程式になる。その係数の行列式は で，平行でないため零でない。
解答
直線 を と表す。ただし はそれぞれの方向ベクトルである。 と はねじれの位置にあるから， と は平行でない。 上の点 と 上の点 を結ぶベクトルを とおく。この線分が両直線に直交する条件は である。 とおくと，この2条件は という の連立一次方程式である。この係数の行列式は符号を除いて である。もしこれが なら，二つの方向ベクトルは平行になる。実際，内積の基本不等式で等号が成立する場合にあたり， は同じ向きまたは反対向きのベクトルになる。これはねじれの位置に反する。
したがって係数の行列式は でなく， はただ1組に定まる。この組に対応する2点を結ぶ直線は，作り方から と の両方に直交する。
また，両方に直交する任意の直線は， 上の点と 上の点を結び，その2点の媒介変数が上の連立方程式を満たす。解 が一意であるから，そのような直線もただ1つである。