問題
素数を小さい順に並べて得られる数列を
とする．
(1) の値を求めよ．
(2) のとき，不等式が成り立つことを示せ．
出典：大阪大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
(1) は素数を順に列挙し，15番目までを確実に確認する。(2) は より大きい素数が で割って または 余ることを使う。 以下に現れる候補数を の偶奇で数えると高々 個であり， では候補に含まれる合成数 を必ず除けるため，素数は高々 個になる。
解答
(1)
素数を小さい順に並べると である。したがって である。
(2)
より大きい素数は偶数でなく， の倍数でもない。したがって， で割った余りは または である。
まず， 以下の素数の候補を数える。ただし は素数でないので候補から外す。 のとき， である。 型の数は の 個， 型の数は の 個である。これに を加えると，候補は高々 個である。
次に， のとき， である。 型の数は の 個， 型の数は の 個である。これに を加えると，候補は高々 個である。
よって，どちらの場合も 以下の素数候補は高々 個である。さらに なら であり， と はともに で割って または 余るが，素数ではない。したがって 以下の素数は高々 個である。
つまり，第 番目の素数は 以下には現れない。よって である。