大阪大学 2024年度
文系数学 第2問

解答

直線 $l$ 上の点を $X(s)=(p,q,r)+s(\alpha ,\beta ,\gamma )$ と表す。$l$ と $z$ 軸はねじれの位置にあるので，$l$ は $z$ 軸と平行ではない。したがって ${\alpha }^2+{\beta }^2\ne 0$ である。 $z$ 軸上の点を $Z=(0,0,z)$ とする。ベクトル $\overrightarrow{ZX(s)}$ は $(p+s\alpha ,q+s\beta ,r+s\gamma -z)$ である。これが $z$ 軸に直交するには，$z$ 成分が $0$ であればよいから $z=r+s\gamma$ でなければならない。このとき $\overrightarrow{ZX(s)}=(p+s\alpha ,q+s\beta ,0)$ である。

さらにこのベクトルが $l$ に直交する条件は，方向ベクトル $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ との内積が $0$ になることである。よって $\alpha (p+s\alpha )+\beta (q+s\beta )+\gamma \cdot 0=0$ すなわち $\alpha p+\beta q+s({\alpha }^2+{\beta }^2)=0$ である。${\alpha }^2+{\beta }^2\ne 0$ だから，これを満たす $s$ はただ1つ存在する。その $s$ に対して $z=r+s\gamma$ もただ1つ定まる。

したがって，このように定まる点 $X(s)$ と $Z$ を結ぶ直線は，$l$ と $z$ 軸の両方に直交する。また，両方に直交する任意の直線は上の二つの条件を満たす点の組から生じるので，$s,z$ の一意性によりその直線もただ1つである。

別解。 $l$ 上の点 $X(s)=(p+s\alpha ,q+s\beta ,r+s\gamma )$ から $z$ 軸に下ろした垂線の足は $Z(s)=(0,0,r+s\gamma )$ である。このとき距離の二乗は $D(s)=(p+s\alpha {)}^2+(q+s\beta {)}^2$ である。${\alpha }^2+{\beta }^2\ne 0$ より $D(s)$ は下に凸の二次式であり，最小値を与える $s$ はただ1つである。その条件は $D^{\prime }(s)=2\alpha (p+s\alpha )+2\beta (q+s\beta )=0$ すなわち $\alpha (p+s\alpha )+\beta (q+s\beta )=0$ である。これは $X(s)Z(s)$ が $l$ に直交する条件であり，$X(s)Z(s)$ は作り方から $z$ 軸にも直交している。よって共通垂線は存在し，最小点の一意性からただ1つである。