大阪大学 2024年度
文系数学 第1問

解答

(1)

$|x|\leqq 1$ では $y=1-x^2$ であるから，直線 $l$ との交点は $1-x^2=2a(x+1)$ すなわち $(x+1)(x-1+2a)=0$ より $x=-1,x=1-2a$ である。$0<a<1$ なので $-1<1-2a<1$ であり，どちらもこの場合に入る。 $|x|\geqq 1$ では $y=x^2-1$ であるから，$x^2-1=2a(x+1)$ すなわち $(x+1)(x-1-2a)=0$ より $x=-1,x=1+2a$ である。$1+2a>1$ だから第2の解もこの場合に入る。よって共有点は $(-1,0),(1-2a,4a(1-a)),(1+2a,4a(1+a))$ である。

(2)

交点の $x$ 座標は $-1<1-2a<1<1+2a$ の順で並ぶ。左側の領域では $C$ が $l$ より上にあるから，その面積を $A_1$ とすると $A_1={\int }_{-1}^{1-2a}\{1-x^2-2a(x+1)\}dx$ である。ここで $u=x+1$ とおくと，積分区間は $0\leqq u\leqq 2(1-a)$ で，$1-x^2-2a(x+1)=2(1-a)u-u^2$ だから $A_1={\int }_0^{2(1-a)}\{2(1-a)u-u^2\}du=\frac{4(1-a{)}^3}{3}$ となる。

右側の領域では直線が曲線より上にある。ただし $x=1$ を境に $C$ の式が変わるので，面積を $A_2$ とすると

である。第1の積分で $u=x+1$ とおくと ${\int }_{2(1-a)}^2\{u^2-2(1-a)u\}du=4a-\frac{4}{3}+\frac{4(1-a{)}^3}{3}$ である。また第2の積分で $v=x-1$ とおくと ${\int }_0^{2a}\{-v^2+2(a-1)v+4a\}dv=4a^2+\frac{4a^3}{3}$ である。したがって $A_2=8a^2$ である。

二つの部分の面積が等しい条件は $\frac{4(1-a{)}^3}{3}=8a^2$ である。これを整理すると $(1-a{)}^3=6a^2$ すなわち $1-3a+3a^2-a^3=6a^2$ より $a^3+3a^2+3a-1=0$ である。よって $(1+a{)}^3=2$ となる。$0<a<1$ を満たす解は $a=\sqrt[3]{2}-1$ であり，これは実際に $0<a<1$ を満たす。