問題
整数に関する次の条件(＊)を考える．
(1) 整数が(＊)およびをみたすとき，は3の倍数であることを示せ．
(2) のとき，(＊)およびをみたす整数の組の個数を求めよ．
方針
条件式の差を計算して、 から を得る。(1)は2つの因子が3で割り切れる条件が合同式で同時に起こることを使う。(2)では とおき、 から 、さらに積が負であることから とする。整数 を与える合同条件を の3の指数で数える。
解答
(1)
条件 (＊) の左辺から右辺を引くと
である。条件 (＊) が成り立ち、かつ であるから である。左辺の二次式を因数分解して を得る。
右辺は3で割り切れるので、 は3で割り切れる。ここで である。したがって一方の因子が3で割り切れるなら、もう一方の因子も3で割り切れる。よって である。 だから となり、 を得る。整数 について なら である。したがって は3の倍数である。
(2)
とおくと である。また であり、 である。したがって は と同値である。
いま なので である。右辺は負であり、 であるから、 は負、 は正でなければならない。そこで とおくと、 は正の整数で をみたす。
逆に、このような から整数 が得られる条件を調べる。上の式に を代入すると である。よって が整数であるための条件は であり、これは と同値である。
ここで である。 を と書くと である。このとき である。
条件 をみたすには、 がともに3で割り切れる必要がある。実際、 なら は3で割り切れず は3で割り切れる。 なら は3で割り切れ は3で割り切れない。どちらも をみたさない。反対に なら はともに3で割り切れるので、どちらも3を法として に合同であり、条件をみたす。
したがって選び方は 通りである。各 に対して は一意に決まり、そこから 、さらに も一意に決まる。よって求める整数の組 の個数は である。