大阪大学 2021年度理系数学第3問解答・解説

問題

$n$ を自然数とし， $t$ を $t ≧ 1$ をみたす実数とする．

(1) $x ≧ t$ のとき，不等式

- \frac{( x - t ) ^{2}}{2} ≦ lo g x - lo g t - \frac{1}{t} (x - t) ≦ 0

が成り立つことを示せ．

(2) 不等式

- \frac{1}{6 n ^{3}} ≦ \int_{t}^{t + \frac{1}{n}} lo g x d x - \frac{1}{n} lo g t - \frac{1}{2 t n ^{2}} ≦ 0

が成り立つことを示せ．

(3) $a_{n} = k = 0 \sum n - 1 lo g (1 + \frac{k}{n})$ とおく． $n \to \infty lim (a_{n} - p n) = q$ をみたすような実数 $p, q$ の値を求めよ．

出典：大阪大学 2021年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

(1)は $lo g x$ を接線 $lo g t + (x - t) / t$ で上から押さえ、下側は導関数の符号、または積分表示で二次の誤差として押さえる。(2)は (1) を短い区間 $[t, t + 1/ n]$ でそのまま積分し、中央の2項がどこから出るかを明示する。(3)は $t = 1 + k / n$ として (2) を $k = 0, 1, \dots, n - 1$ で加え、定積分と和の極限に挟み誤差 $O (1/ n^{2})$ を使って定数項まで取り出す。

解答

(1)

$F (x) = lo g x - lo g t - \frac{x - t}{t}$ とおく。 $x ≧ t$ において $F^{'} (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{t} ≦ 0$ であり、 $F (t) = 0$ であるから $F (x) ≦ 0$ である。これで右側の不等式が示された。

次に $G (x) = F (x) + \frac{( x - t ) ^{2}}{2}$ とおく。すると $G^{'} (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{t} + x - t = (x - t) (1 - \frac{1}{t x})$ である。 $x ≧ t ≧ 1$ より $x - t ≧ 0$ かつ $t x ≧ 1$ だから、 $G^{'} (x) ≧ 0$ である。また $G (t) = 0$ なので $G (x) ≧ 0$ である。すなわち $F (x) + \frac{( x - t ) ^{2}}{2} ≧ 0$ であるから $- \frac{( x - t ) ^{2}}{2} ≦ F (x)$ を得る。以上より $- \frac{( x - t ) ^{2}}{2} ≦ lo g x - lo g t - \frac{x - t}{t} ≦ 0$ である。

別解。(1)の左側は積分で見ることもできる。 $x ≧ t$ のとき

lo g x - lo g t - \frac{x - t}{t} = \int_{t}^{x} (\frac{1}{u} - \frac{1}{t}) d u = \int_{t}^{x} - \frac{u - t}{t u} d u

である。 $u ≧ t ≧ 1$ より $t u ≧ 1$ だから $- (u - t) ≦ - \frac{u - t}{t u} ≦ 0$ である。これを $u = t$ から $u = x$ まで積分して $- \frac{( x - t ) ^{2}}{2} ≦ lo g x - lo g t - \frac{x - t}{t} ≦ 0$ を得る。

(2)

(1)の不等式を $x = t$ から $x = t + \frac{1}{n}$ まで積分する。中央の式については $\int_{t}^{t + \frac{1}{n}} (lo g x - lo g t - \frac{x - t}{t}) d x$

= \int_{t}^{t + \frac{1}{n}} lo g x d x - \frac{1}{n} lo g t - \frac{1}{t} \int_{t}^{t + \frac{1}{n}} (x - t) d x

$= \int_{t}^{t + \frac{1}{n}} lo g x d x - \frac{1}{n} lo g t - \frac{1}{2 t n ^{2}}$ である。また左端の積分は

\int_{t}^{t + \frac{1}{n}} - \frac{( x - t ) ^{2}}{2} d x = - \frac{1}{2} [\frac{( x - t ) ^{3}}{3}]_{t}^{t + \frac{1}{n}} = - \frac{1}{6 n ^{3}}

である。したがって

- \frac{1}{6 n ^{3}} ≦ \int_{t}^{t + \frac{1}{n}} lo g x d x - \frac{1}{n} lo g t - \frac{1}{2 t n ^{2}} ≦ 0

が成り立つ。

(3)

(2)において $t = 1 + \frac{k}{n} (k = 0, 1, \dots, n - 1)$ とおく。このとき $t ≧ 1$ であり、区間 $[t, t + \frac{1}{n}]$ は $[1 + \frac{k}{n}, 1 + \frac{k + 1}{n}]$ である。よって (2) を $k = 0$ から $n - 1$ まで加えると

- \frac{1}{6 n ^{2}} ≦ \int_{1}^{2} lo g x d x - \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 lo g (1 + \frac{k}{n}) - \frac{1}{2 n ^{2}} k = 0 \sum n - 1 \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} ≦ 0

となる。ここで $a_{n} = \sum_{k = 0}^{n - 1} lo g (1 + \frac{k}{n})$ であるから、ある $ε_{n}$ を用いて

\int_{1}^{2} lo g x d x - \frac{a _{n}}{n} - \frac{1}{2 n ^{2}} k = 0 \sum n - 1 \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} = ε_{n}, - \frac{1}{6 n ^{2}} ≦ ε_{n} ≦ 0

と書ける。これを $a_{n}$ について解くと

a_{n} = n \int_{1}^{2} lo g x d x - \frac{1}{2 n} k = 0 \sum n - 1 \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} - n ε_{n}

である。

まず $\int_{1}^{2} lo g x d x = [x lo g x - x]_{1}^{2} = 2 lo g 2 - 1$ である。また、和の極限として

\frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} ⟶ \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x} d x = lo g 2

である。さらに $- \frac{1}{6 n} ≦ n ε_{n} ≦ 0$ より $n ε_{n} ⟶ 0$ である。

したがって

a_{n} - n (2 lo g 2 - 1) = - \frac{1}{2} {\frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}} - n ε_{n} ⟶ - \frac{1}{2} lo g 2

である。ゆえに $p = 2 lo g 2 - 1, q = - \frac{1}{2} lo g 2$ である。

大阪大学 2021年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2021年度
理系数学第3問