大阪大学 2021年度
理系数学 第1問

解答

(1)

曲線 $y=\frac{1}{x}$ 上の点 $\left(u,\frac{1}{u}\right)$ における接線を求める。導関数は $y^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$ であるから、接線は $y-\frac{1}{u}=-\frac{1}{u^2}(x-u)$ すなわち $y=-\frac{x}{u^2}+\frac{2}{u}$ である。

この接線が点 $P(a,b)$ を通る条件は $b=-\frac{a}{u^2}+\frac{2}{u}$ であり、$u>0$ なので両辺に $u^2$ を掛けて $b{u}^2-2u+a=0$ を得る。この二次方程式の判別式は $D=4-4ab=4(1-ab)>0$ である。また、解と係数の関係より2根の和は $\frac{2}{b}>0$、積は $\frac{a}{b}>0$ であるから、2根はいずれも正である。

よって $s<t$ に注意して $s=\frac{2-2\sqrt{1-ab}}{2b}=\frac{1-\sqrt{1-ab}}{b},$ $t=\frac{2+2\sqrt{1-ab}}{2b}=\frac{1+\sqrt{1-ab}}{b}$ である。

(2)

(1)より $\frac{t}{s}=\frac{1+\sqrt{1-ab}}{1-\sqrt{1-ab}}$ である。$0<ab<1$ より $0<\sqrt{1-ab}<1$ であり、$r=\sqrt{1-ab}$ とおくと $\frac{t}{s}=\frac{1+r}{1-r}$ である。この式は $r$ が大きいほど大きくなる。実際 $\frac{1+r}{1-r}=1+\frac{2r}{1-r}$ であり、$0<r<1$ で右辺は $r$ とともに増加する。したがって $\frac{t}{s}$ を最小にするには、$r=\sqrt{1-ab}$ を最小、すなわち $ab$ を最大にすればよい。

点 $P(a,b)$ は $b=\frac{9}{4}-3a^2,a>0,b>0$ をみたす。したがって $0<a<\frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、$ab=a\left(\frac{9}{4}-3a^2\right)$ である。これを $F(a)$ とおくと $F^{\prime }(a)=\frac{9}{4}-9a^2$ である。$0<a<\frac{\sqrt{3}}{2}$ では、$F^{\prime }(a)>0$ となるのは $0<a<\frac{1}{2}$、$F^{\prime }(a)<0$ となるのは $\frac{1}{2}<a<\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。よって $F(a)$ は $a=\frac{1}{2}$ で最大となる。このとき $b=\frac{9}{4}-3\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{2},ab=\frac{3}{4}$ である。

したがって $\sqrt{1-ab}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$ となり、$\frac{t}{s}=\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=3$ である。求める最小値は $3$ であり、そのとき $a=\frac{1}{2},b=\frac{3}{2}$ である。