問題
三角形において，辺の長さを，辺の長さをで表す．であるとき，を示せ．
出典：大阪大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
正弦定理で辺の比を角の正弦の比に直す。条件 から となるので、三倍角の公式で に変形する。三角形の角であるため 、従って であり、ここから厳密な不等号を得る。
解答
三角形ABCにおいて、辺 は角Cの対辺、辺 は角Bの対辺である。正弦定理より であるから、 を用いると となる。
ここで三倍角の公式 を用いる。三角形の内角なので であり、 である。したがって である。 より だから である。 なので両辺に を掛けて を得る。