問題
をを満たす実数とする．関数
について，以下の問いに答えよ．
(1) はただ1つの極大値をもつことを示し，その極大値を求めよ．
(2) におけるの最大値とそのときのの値，最小値とそのときのの値をそれぞれ求めよ．
出典：大阪大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
とおくと、パラメータは の1変数に整理できる。まず を因数分解し、2つの停留点 の順序が常に で固定されることを確認する。これにより極大点が だけであると分かるので、 を計算して の二次関数に直す。最後は が閉区間 を動くことを用いて最大・最小と、そのときの を漏れなく戻す。
解答
(1)
とおくと、 である。このとき であり、微分すると
となる。ここで だから である。したがって の符号は
となる。よって は で極大、 で極小となり、極大値はただ1つである。
その極大値を求めると
である。したがって である。
(2)
とおくと、、 である。平方完成して となる。 は区間 に含まれるから、最小値は のとき である。この条件は であり、 より である。
最大値は、上に開く放物線 を区間 で見るので、頂点から遠い端点で起こる。端点を比べると であるから、最大値は である。このとき 、すなわち である。