大阪大学 2020年度文系数学第2問解答・解説

問題

円周を3等分する点を時計回りにA，B，Cとおく．点QはAから出発し，A，B，Cを以下のように移動する．1個のさいころを投げて，1の目が出た場合は時計回りに隣の点に移動し，2の目が出た場合は反時計回りに隣の点に移動し，その他の目が出た場合は移動しない．さいころを $n$ 回投げたあとにQがAに位置する確率を $p_{n}$ とする．以下の問いに答えよ．

(1) $p_{2}$ を求めよ．

(2) $p_{n + 1}$ を $p_{n}$ を用いて表せ．

(3) $p_{n}$ を求めよ．

出典：大阪大学 2020年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

1回の移動で「同じ点にとどまる」「時計回り」「反時計回り」がどの確率で起こるかを、点Aにいる場合と点A以外にいる場合に分けて見る。(1)は2回後にAへ戻る経路を直接数え、(2)は $n$ 回後にAにいる確率だけを状態として漸化式を作る。最後は定数項をもつ一次漸化式なので、定常値 $\frac{1}{3}$ を引いて等比数列に直す。

解答

(1)

2回の操作後に点Aにいるのは、次の2種類である。

まず、2回ともAにとどまる場合の確率は $(\frac{4}{6})^{2} = \frac{16}{36}$ である。次に、1回目に時計回りへ進み、2回目に反時計回りで戻る場合、または1回目に反時計回りへ進み、2回目に時計回りで戻る場合がある。それぞれの確率は $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$ であるから、合わせて $2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{36}$ である。したがって $p_{2} = \frac{16}{36} + \frac{2}{36} = \frac{1}{2}$ である。

(2)

$n$ 回後に点Aにいる確率を $p_{n}$ とする。 $n + 1$ 回後に点Aにいるには、

$n$ 回後に点Aにいて、そのままとどまる。

$n$ 回後に点A以外の点にいて、1回の移動で点Aへ進む。

のいずれかである。点Aにいるときにとどまる確率は $\frac{4}{6}$ である。また、点A以外の2点のどちらにいても、点Aへ移る向きは1通りだけなので、その確率は $\frac{1}{6}$ である。よって $p_{n + 1} = \frac{4}{6} p_{n} + \frac{1}{6} (1 - p_{n}) = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{1}{6}$ を得る。

ここで $p_{n + 1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} (p_{n} - \frac{1}{3})$ である。初回については、点Aにとどまる場合、時計回りに進む場合、反時計回りに進む場合のうち、点Aにいるのは「とどまる」場合だけだから $p_{1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ である。したがって

p_{n} - \frac{1}{3} = (\frac{1}{2})^{n - 1} (p_{1} - \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} (\frac{1}{2})^{n - 1}

となる。ゆえに $p_{n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2})^{n - 1} (n ≧ 1)$ である。

大阪大学 2020年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2020年度
文系数学第2問