大阪大学 2019年度
理系数学 第3問

解答

(1)

$(s+t,st)=(2,\sqrt{2})$ と仮定する。このとき $s,t$ は2次方程式 $X^2-2X+\sqrt{2}=0$ の2つの実数解でなければならない。ところがこの判別式は $(-2{)}^2-4\sqrt{2}=4-4\sqrt{2}<0$ である。したがって実数 $s,t$ は存在しない。ゆえに $2,\sqrt{2}$ は領域 $A$ の点ではない。

(2)

$x=s+t,y=st$ とおく。$s,t$ は2次方程式 $X^2-xX+y=0$ の実数解である。したがって実数 $s,t$ が存在する条件は判別式より $x^2-4y\geqq 0$ すなわち $y\leqq \frac{x^2}{4}$ である。

また $s^2+t^2=(s+t{)}^2-2st=x^2-2y$ であるから、条件 $s^2+t^2\leqq 6$ は $x^2-2y\leqq 6$ すなわち $y\geqq \frac{x^2-6}{2}$ である。

よって領域 $A$ は $\frac{x^2-6}{2}\leqq y\leqq \frac{x^2}{4}$ で表される。ただし2つの不等式が両立するためには $\frac{x^2-6}{2}\leqq \frac{x^2}{4}$ が必要で、これは $x^2\leqq 12$ と同値である。したがって $-2\sqrt{3}\leqq x\leqq 2\sqrt{3}$ である。

したがって図示すべき領域は、上側の放物線 $y=\frac{x^2}{4}$ と下側の放物線 $y=\frac{x^2}{2}-3$ に挟まれ、交点 $(\pm 2\sqrt{3},3)$ をもつ部分である。

(3)

上側の境界を $U=\frac{x^2}{4}$ 下側の境界を $L=\frac{x^2}{2}-3$ とおく。領域は $y$ 軸について対称なので、体積を $x\geqq 0$ で求めて2倍する。

まず $0\leqq x\leqq \sqrt{6}$ では $L\leqq 0\leqq U$ であり、領域は $x$ 軸をまたぐ。外半径は $U$ と $-L$ の大きい方である。比較すると $3-\frac{x^2}{2}\geqq \frac{x^2}{4}$ は $x\leqq 2$ と同値である。したがって、$0\leqq x\leqq 2$ では外半径が $-L=3-\frac{x^2}{2}$、$2\leqq x\leqq \sqrt{6}$ では外半径が $U=\frac{x^2}{4}$ である。

次に $\sqrt{6}\leqq x\leqq 2\sqrt{3}$ では $0\leqq L\leqq U$ なので、断面は外半径 $U$、内半径 $L$ の輪になる。

よって体積 $V$ は

である。

各積分を計算すると ${\int }_0^2{\left(3-\frac{x^2}{2}\right)}^{2}dx=\frac{58}{5},$ ${\int }_2^{\sqrt{6}}{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^{2}dx=\frac{9\sqrt{6}-8}{20},$ また

である。したがって

である。