問題
自然数，に対し，
とおく．ただし，は虚数単位とする．複素数 を以下のように定める．
このとき以下の問いに答えよ．
(1) ，のとき，複素数平面上の点をこの順に線分で結んでできる図形を図示せよ．
(2) ，のとき，を求めよ．
(3) さいころを2回投げ，1回目に出た目を，2回目に出た目をとする．このときである確率を求めよ．
出典：大阪大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
漸化式の特性方程式を見ると、根は と である。 のときは とおいて初期条件から一般項を求める。 は重解になる例外で、この場合は別に と分かる。(1)は与えられた で順に点を求めて図形を確認する。(2)は一般項に代入する。(3)は が と同値になるが、 の例外を除外して数える。最後は の組を表で整理する。
解答
(1)
のとき
である。漸化式から順に計算すると であり、さらに
となる。これらは中心 をもつ正六角形の頂点を順にたどっている。したがって、線分で結んでできる図形は正六角形である。
(2)
まず一般項を求める。漸化式の特性方程式は であり、これは と因数分解できる。 のとき、 とおける。初期条件 、 から である。これを解くと である。よって である。 のとき である。したがって である。 なので であり、 となる。よって である。
(3)
まず の場合を考える。このとき上の一般項より は と同値である。 だから である。
ここで なので、条件は が奇数であることと同値である。 でこれを満たす組を列挙すると の10通りである。
ただし、この中で の3通りは となる。 のとき漸化式は であり、帰納的に となる。したがってこの3通りでは ではない。
よって有効な組は 通りである。さいころ2回の出方は全部で36通りなので、求める確率は である。