大阪大学 2019年度理系数学第1問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ．ただし， $lo g$ は自然対数， $e$ はその底とする．

(1) $b$ を実数とする．関数

f (x) = \int_{x}^{b} e^{- \frac{t ^{2}}{2}} d t - \frac{x}{x ^{2} + 1} e^{- \frac{x ^{2}}{2}}

は単調に減少することを示せ．

(2) $a ≦ b$ を満たす正の実数 $a$ ， $b$ に対し，不等式

\frac{a}{a ^{2} + 1} e^{- \frac{a ^{2}}{2}} - \frac{b}{b ^{2} + 1} e^{- \frac{b ^{2}}{2}} ≦ \int_{a}^{b} e^{- \frac{t ^{2}}{2}} d t ≦ e^{- \frac{a ^{2}}{2}} (b - a)

が成り立つことを示せ．

(3) 数列 ${I_{n}}$ を次のように定める．

I_{n} = \int_{1}^{2} e^{- \frac{n t ^{2}}{2}} d t (n = 1, 2, 3, \dots)

このとき極限

n \to \infty lim \frac{1}{n} lo g I_{n}

を求めよ．ただし，

n \to \infty lim \frac{1}{n} lo g (n + 1) = 0

を用いてもよい．

出典：大阪大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

(1)は定義された関数を直接微分する。積分の下端が $x$ なので微分すると $- e^{- x^{2} /2}$ が出ること、さらに $\frac{x}{x ^{2} + 1} e^{- x^{2} /2}$ の微分を丁寧に計算することが要点である。(2)の下限は(1)で得た単調減少性を $x = a, b$ に適用して作り、上限は $t ≧ a > 0$ で $e^{- t^{2} /2} ≦ e^{- a^{2} /2}$ となることから出す。(3)は指数オーダーの極限なので、上からは全区間での最大値、下からは $[1, 1 + 1/ n]$ の短い区間を使って評価し、対数を取ってはさみうちする。

解答

(1)

$g (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1} e^{- x^{2} /2}$ とおく。すると $f (x) = \int_{x}^{b} e^{- t^{2} /2} d t - g (x)$ である。まず $\frac{d}{d x} \int_{x}^{b} e^{- t^{2} /2} d t = - e^{- x^{2} /2}$ である。また

g^{'} (x) = (\frac{x}{x ^{2} + 1})^{'} e^{- x^{2} /2} + \frac{x}{x ^{2} + 1} (e^{- x^{2} /2})^{'} = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} e^{- x^{2} /2} - \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} e^{- x^{2} /2} = \frac{1 - 2 x ^{2} - x ^{4}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} e^{- x^{2} /2}

である。したがって

f^{'} (x) = - e^{- x^{2} /2} - g^{'} (x) = - \frac{2}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} e^{- x^{2} /2}

である。これは常に負であるから、 $f (x)$ は単調に減少する。

(2)

(1)より $f (x)$ は単調に減少する。 $a ≦ b$ なので $f (a) ≧ f (b)$ である。これを展開すると

\int_{a}^{b} e^{- t^{2} /2} d t - \frac{a}{a ^{2} + 1} e^{- a^{2} /2} ≧ - \frac{b}{b ^{2} + 1} e^{- b^{2} /2}

である。よって

\frac{a}{a ^{2} + 1} e^{- a^{2} /2} - \frac{b}{b ^{2} + 1} e^{- b^{2} /2} ≦ \int_{a}^{b} e^{- t^{2} /2} d t

を得る。

一方、 $a ≦ t ≦ b$ かつ $a > 0$ より $t^{2} ≧ a^{2}$ である。したがって $e^{- t^{2} /2} ≦ e^{- a^{2} /2}$ であり、積分して $\int_{a}^{b} e^{- t^{2} /2} d t ≦ \int_{a}^{b} e^{- a^{2} /2} d t = e^{- a^{2} /2} (b - a)$ である。以上で両側の不等式が示された。

(3)

$I_{n} = \int_{1}^{2} e^{- n t^{2} /2} d t$ である。まず $1 ≦ t ≦ 2$ では $t^{2} ≧ 1$ だから $I_{n} ≦ \int_{1}^{2} e^{- n /2} d t = e^{- n /2}$ である。

次に下から評価する。 $1 ≦ t ≦ 1 + \frac{1}{n}$ では $t^{2} ≦ (1 + \frac{1}{n})^{2}$ であるから $e^{- n t^{2} /2} ≧ exp {- \frac{n}{2} (1 + \frac{1}{n})^{2}}$ である。したがって

I_{n} ≧ \int_{1}^{1 + 1/ n} exp {- \frac{n}{2} (1 + \frac{1}{n})^{2}} d t = \frac{1}{n} exp {- \frac{n}{2} (1 + \frac{1}{n})^{2}}

である。

以上より

- \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{n})^{2} - \frac{lo g n}{n} ≦ \frac{1}{n} lo g I_{n} ≦ - \frac{1}{2}

である。ここで $lim_{n \to \infty} \frac{l o g n}{n} = 0$ だから、はさみうちにより $n \to \infty lim \frac{1}{n} lo g I_{n} = - \frac{1}{2}$ である。

大阪大学 2019年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2019年度
理系数学第1問