大阪大学 2017年度文系数学第3問解答・解説

問題

次の条件によって定められる数列 ${a_{n}}$ がある．

a_{1} = 2, a_{n + 1} = 8 a_{n}^{2} (n = 1, 2, 3, \dots)

(1) $b_{n} = lo g_{2} a_{n}$ とおく． $b_{n + 1}$ を $b_{n}$ を用いてあらわせ．

(2) 数列 ${b_{n}}$ の一般項を求めよ．

(3) $P_{n} = a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n}$ とおく．数列 ${P_{n}}$ の一般項を求めよ．

(4) $P_{n} > 10^{100}$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ．

出典：大阪大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

$a_{n + 1} = 8 a_{n}^{2}$ はそのままだと指数が急増するので， $b_{n} = lo g_{2} a_{n}$ で線形漸化式に直す。 $b_{n + 1} + 3 = 2 (b_{n} + 3)$ として一般項を求め， $P_{n}$ は $2$ を底とする指数の和に変換する。最後の大小比較では指数 $E_{n} = 2^{n + 2} - 4 - 3 n$ が増加することを押さえ， $n = 6, 7$ だけを具体的に比較する。

解答

(1)

$a_{n} > 0$ であるから $b_{n} = lo g_{2} a_{n}$ は定義できる。漸化式より $b_{n + 1} = lo g_{2} (8 a_{n}^{2}) = lo g_{2} 8 + lo g_{2} a_{n}^{2} = 3 + 2 b_{n}$ である。

(2)

(1)の式を $b_{n + 1} + 3 = 2 (b_{n} + 3)$ と変形する。 $a_{1} = 2$ より $b_{1} = 1$ なので $b_{1} + 3 = 4$ である。したがって $b_{n} + 3$ は初項 $4$ ，公比 $2$ の等比数列であり $b_{n} + 3 = 4 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n + 1}$ となる。よって $b_{n} = 2^{n + 1} - 3$ である。

(3)

$a_{n} = 2^{b_{n}}$ であるから $P_{n} = a_{1} a_{2} \dots a_{n} = 2^{b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}}$ である。ここで

b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} = k = 1 \sum n (2^{k + 1} - 3) = (2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{n + 1}) - 3 n = (2^{n + 2} - 4) - 3 n

である。したがって $P_{n} = 2^{2^{n + 2} - 4 - 3 n}$ である。

(4)

$E_{n} = 2^{n + 2} - 4 - 3 n$ とおくと， $P_{n} = 2^{E_{n}}$ である。また $E_{n + 1} - E_{n} = 2^{n + 2} - 3 > 0$ なので， $E_{n}$ は増加する。 $n = 6$ のとき $E_{6} = 2^{8} - 4 - 18 = 234$ である。 $2^{10} = 1024 < 1 0^{4}$ より $2^{234} = 2^{4} (2^{10})^{23} < 16 \cdot 1 0^{92} < 1 0^{100}$ だから， $n ≦ 6$ では条件を満たさない。 $n = 7$ のとき $E_{7} = 2^{9} - 4 - 21 = 487$ である。 $2^{10} = 1024 > 1 0^{3}$ より $2^{487} = 2^{7} (2^{10})^{48} > 128 \cdot 1 0^{144} > 1 0^{100}$ だから， $n = 7$ では条件を満たす。したがって求める最小の自然数は $7$ である。

大阪大学 2017年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

大阪大学 2017年度
文系数学第3問