問題
，を実数，を正の実数とする．放物線の頂点の座標がのとき，放物線と軸で囲まれた部分の面積をを用いてあらわせ．
出典：大阪大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
頂点の高さだけが面積を決めることを使う。頂点の座標をとおけば，係数がなので放物線はである。から軸との交点は2つあり，平行移動で区間を対称にして定積分する。最後に横向きの切片幅で計算する別解も示し，面積がに依存しないことを確認する。
解答
頂点の座標をとする。放物線の上に凸でない向きと頂点の座標がであることから，放物線は と書ける。であるから，軸との交点は より である。
この区間では放物線は軸より上にあるので，求める面積は である。ここでとおくと，積分区間はとなるから である。したがって
である。
別解。頂点を通る軸でなく，高さで切って面積を足してもよい。高さをとすると，で より，その高さにおける横幅は である。よって
となり，同じ結果を得る。