大阪大学 2017年度
文系数学 第2問

解答

与えられた条件から，2つ目の式から1つ目の式を引くと $y+2z=4$ である。したがって $y=4-2z$ であり，$x+y+z=1$より $x=1-y-z=z-3$ である。以後，$z$だけを変数として考える。

(1)

代入すると

である。平方完成すると $9z^2-33z+37=9{\left(z-\frac{11}{6}\right)}^2+\frac{27}{4}$ である。$z$は任意の実数を取りうるので，最小値は $\frac{27}{4}$ であり，これは$z=\frac{11}{6}$のときに達成される。

(2)

$xyz=(z-3)(4-2z)z=-2z^3+10z^2-12z$ とおき，これを$F(z)$とする。すると $F^{\prime }(z)=-6z^2+20z-12=-2(3z^2-10z+6)$ である。$F^{\prime }(z)=0$を解くと $z=\frac{5-\sqrt{7}}{3},z=\frac{5+\sqrt{7}}{3}$ である。 $F^{\prime }(z)$は上に凸でない二次式なので，$z\geqq 0$において $0<\frac{5-\sqrt{7}}{3}<\frac{5+\sqrt{7}}{3}$ を境に，$F$は減少，増加，減少の順に変化する。また$F(0)=0$，$z\to \infty$で$F(z)\to -\infty$であり，さらに $2<\frac{5+\sqrt{7}}{3}<3$ だからこの点では$(z-3)(4-2z)z>0$である。したがって$z\geqq 0$で$xyz$が最大となるのは $z=\frac{5+\sqrt{7}}{3}$ のときである。

別解。(1)については恒等式 $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ を使ってもよい。ここでは$x+y+z=1$であるから $x^3+y^3+z^3-3xyz=\frac{(x-y{)}^2+(y-z{)}^2+(z-x{)}^2}{2}$ である。$x=z-3,y=4-2z$を代入すると $\frac{(3z-7{)}^2+(4-3z{)}^2+3^2}{2}=9z^2-33z+37$ となり，平方完成して同じ最小値$\frac{27}{4}$を得る。