大阪大学 2016年度文系数学第3問解答・解説

問題

1以上6以下の2つの整数 $a, b$ に対し，関数 $f_{n} (x)$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ を次の条件（ア），（イ），（ウ）で定める．

（ア） $f_{1} (x) = sin (π x)$

（イ） $f_{2 n} (x) = f_{2 n - 1} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - x)$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$

（ウ） $f_{2 n + 1} (x) = f_{2 n} (- x)$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$

以下の問いに答えよ．

(1) $a = 2, b = 3$ のとき， $f_{5} (0)$ を求めよ．

(2) 1個のさいころを2回投げて，1回目に出る目を $a$ ，2回目に出る目を $b$ とするとき， $f_{6} (0) = 0$ となる確率を求めよ．

出典：大阪大学 2016年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

$h = 1/ a + 1/ b$ とおき，定義による変換を2回ずつ追う。帰納的に $f_{2 k} (x) = sin {π (k h - x)}$ ， $f_{2 k + 1} (x) = sin {π (k h + x)}$ となるので，特に $f_{2 k} (0) = f_{2 k + 1} (0) = sin (k π h)$ である。(1)は $h = 5/6$ を代入する。(2)は $f_{6} (0) = sin (3 π h)$ より， $3/ a + 3/ b$ が整数となる $(a, b)$ を1から6の範囲で数え上げる。

解答

$h = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ とおく。まず $f_{2} (x) = f_{1} (h - x) = sin π (h - x)$ であり， $f_{3} (x) = f_{2} (- x) = sin π (h + x)$ である。同様に繰り返すと，正の整数 $k$ について $f_{2 k} (x) = sin {π (k h - x)}, f_{2 k + 1} (x) = sin {π (k h + x)}$ が成り立つ。したがって $f_{2 k} (0) = f_{2 k + 1} (0) = sin (k π h)$ である。

(1)

$a = 2, b = 3$ のとき $h = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ である。 $f_{5} (0)$ は $2 k + 1 = 5$ より $k = 2$ の場合なので， $f_{5} (0) = sin (2 π h) = sin \frac{5 π}{3} = - \frac{3}{2}$ である。

(2)

$f_{6} (0)$ は $2 k = 6$ より $k = 3$ の場合なので， $f_{6} (0) = sin (3 π h) = sin π (\frac{3}{a} + \frac{3}{b})$ である。よって $f_{6} (0) = 0$ となる条件は $\frac{3}{a} + \frac{3}{b}$ が整数であることである。 $1 ≦ a, b ≦ 6$ について調べる。 $3/ a$ の値は $3, \frac{3}{2}, 1, \frac{3}{4}, \frac{3}{5}, \frac{1}{2}$ である。この中から2つを足して整数になる組を数えると， $(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 6),$ $(3, 1), (3, 3), (6, 2), (6, 6)$ の8通りである。さいころを2回投げる全事象は36通りなので，求める確率は $\frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ である。

大阪大学 2016年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2016年度
文系数学第3問